Determine a massa do Sol, conhecendo o período de revolução da Terra em torno do Sol e o raio médio da órbita da Terra de 1,5 . 10¹¹m. (Adote G = 6,7 . 10¹¹N . m²/ng²)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para descobrir a massa do Sol. Para isso, vamos usar os dados sobre quanto tempo a Terra leva para dar uma volta completa ao redor do Sol (período de revolução) e a distância média dessa órbita, que é 1,5 times 10^11 metros. O conteúdo que vamos usar aqui é a Lei da Gravitação Universal de Newton, que relaciona a força gravitacional com as massas envolvidas e a distância entre elas. Vamos precisar também da constante gravitacional G = 6,7 times 10^-11 , N cdot m^2/kg^2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a Terra se mantém em órbita ao redor do Sol. A força gravitacional que o Sol exerce sobre a Terra fornece a força centrípeta necessária para que a Terra continue girando ao redor do Sol. A força gravitacional Fg é dada por:
Fg = G M cdot mr^2
Onde:
  • M é a massa do Sol que queremos encontrar,
  • m é a massa da Terra,
  • r é a distância média entre a Terra e o Sol,
  • G é a constante gravitacional.
A força centrípeta Fc necessária para manter a Terra em órbita é:
Fc = m cdot v^2r
Onde v é a velocidade orbital da Terra.

Passo 3

Como a Terra está em órbita estável, a força gravitacional é igual à força centrípeta:
G M cdot mr^2 = m cdot v^2r
Podemos simplificar a equação cancelando a massa da Terra m e um r:
G Mr = v^2

Passo 4

Sabemos que a velocidade orbital v pode ser relacionada ao período de revolução T da Terra e ao raio r da órbita:
v = 2pi rT
Substituindo essa expressão na equação anterior:
G Mr = ( 2pi rT )^2

Passo 5

Vamos resolver para a massa do Sol M:
M = r cdot ( 2pi rT )^2G
Simplificando:
M = 4pi^2 r^3G T^2

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
  • r = 1,5 times 10^11 , m
  • G = 6,7 times 10^-11 , N cdot m^2/kg^2
  • T = 365 , dias (vamos converter para segundos: 365 times 24 times 3600 = 3,156 times 10^7 , s)
Substituindo:
M = 4 pi^2 (1,5 times 10^11)^36,7 times 10^-11 times (3,156 times 10^7)^2

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular r^3:
(1,5 times 10^11)^3 = 3,375 times 10^33 , m^3
  1. Calcular T^2:
(3,156 times 10^7)^2 = 9,96 times 10^14 , s^2
  1. Substituir na fórmula:
M = 4 times pi^2 times 3,375 times 10^336,7 times 10^-11 times 9,96 times 10^14
  1. Calcular o numerador:
4 times pi^2 times 3,375 times 10^33 approx 1,336 times 10^35
  1. Calcular o denominador:
6,7 times 10^-11 times 9,96 times 10^14 approx 6,673 times 10^4
  1. Finalmente:
M = 1,336 times 10^356,673 times 10^4 approx 2,0 times 10^30 , kg

Resposta

A massa do Sol é aproximadamente 2,0 times 10^30 quilos.

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