Determine a massa do Sol, conhecendo o período de revolução da Terra em torno do Sol e o raio médio da órbita da Terra de 1,5 . 10¹¹m. (Adote G = 6,7 . 10¹¹N . m²/ng²)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para descobrir a massa do Sol. Para isso, vamos usar os dados sobre quanto tempo a Terra leva para dar uma volta completa ao redor do Sol (período de revolução) e a distância média dessa órbita, que é
metros. O conteúdo que vamos usar aqui é a Lei da Gravitação Universal de Newton, que relaciona a força gravitacional com as massas envolvidas e a distância entre elas. Vamos precisar também da constante gravitacional
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a Terra se mantém em órbita ao redor do Sol. A força gravitacional que o Sol exerce sobre a Terra fornece a força centrípeta necessária para que a Terra continue girando ao redor do Sol. A força gravitacional
é dada por:
Onde:
-
é a massa do Sol que queremos encontrar, -
é a massa da Terra, -
é a distância média entre a Terra e o Sol, -
é a constante gravitacional.
A força centrípeta
necessária para manter a Terra em órbita é:
Onde
é a velocidade orbital da Terra.
Passo 3
Como a Terra está em órbita estável, a força gravitacional é igual à força centrípeta:
Podemos simplificar a equação cancelando a massa da Terra
e um
:
Passo 4
Sabemos que a velocidade orbital
pode ser relacionada ao período de revolução
da Terra e ao raio
da órbita:
Substituindo essa expressão na equação anterior:
Passo 5
Vamos resolver para a massa do Sol
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
-
-
-
(vamos converter para segundos: )
Substituindo:
Passo 7
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Substituir na fórmula:
- Calcular o numerador:
- Calcular o denominador:
- Finalmente:
Resposta
A massa do Sol é aproximadamente
quilos.