Determine qual a quádrica com a fórmula abaixo e sua orientação

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação e queremos determinar que tipo de quádricas ela representa e qual é a sua orientação. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as diferentes formas das quádricas e como identificar cada uma delas a partir de suas equações.

Passo 2

Vamos começar simplificando a equação dada para facilitar a identificação da quádra. Multiplicando ambos os lados da equação por , temos:
Rearranjando os termos, fica:

Passo 3

Agora, vamos comparar essa equação com as formas padrão das quádricas. As principais quádricas são:
  • Esfera:
  • Paraboloide: Pode ser circular ou elíptico, com uma variável elevada apenas ao quadrado.
  • Hiperboloide de uma folha:
  • Hiperboloide de duas folhas:
Comparando com a nossa equação , vemos que temos duas subtrações e uma adição igual a 1. Isso se assemelha mais ao hiperboloide de uma folha.

Passo 4

Para determinar a orientação da quádra, observamos os sinais e os coeficientes das variáveis. Na equação , o termo positivo está associado ao , enquanto os termos negativos estão ligados a e . Isso indica que o hiperboloide está orientado ao longo do eixo x, já que é o eixo associado ao termo positivo.

Resposta

A quádra representada pela equação é um hiperboloide de uma folha orientado ao longo do eixo x.

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