Calcule a integral tripla , se for a região formada pelo tetraedro formado pelo plano e pelos planos coordenados.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla , onde é o tetraedro formado pelo plano e pelos planos coordenados (os planos , e ). Isso entra no conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como determinar os limites de integração para , e dentro desse tetraedro.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o tetraedro. Os planos coordenados interceptam o plano dado em pontos específicos. Vamos encontrar esses pontos de interseção para saber até onde cada variável vai.
Quando e :
Quando e :
Quando e :
Então, os vértices do tetraedro estão em , , e .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Para isso, precisamos expressar as variáveis em termos umas das outras usando a equação do plano.
A equação do plano é:
Podemos resolver para :
Isso nos dá a expressão para em função de e , que será o limite superior para .
Passo 4
Vamos configurar os limites de integração:
varia de 0 a 5.
Para um dado , varia de 0 até o limite onde . Quando :
Então, varia de 0 a .
3. Para cada par , varia de 0 a .
Passo 5
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla: