Calcule a integral tripla integral triplaS y d V, se S for a região formada pelo tetraedro formado pelo plano 12 x+20 y+10 z=60 e pelos planos coordenados.
Resposta: 152

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla , onde é o tetraedro formado pelo plano e pelos planos coordenados (os planos , e ). Isso entra no conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como determinar os limites de integração para , e dentro desse tetraedro.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro. Os planos coordenados interceptam o plano dado 12x = 60 implies x = 5 em pontos específicos. Vamos encontrar esses pontos de interseção para saber até onde cada variável vai.
Quando 20y = 60 implies y = 3 e 10z = 60 implies z = 6:
Quando e :
Quando e :
Então, os vértices do tetraedro estão em , , e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para isso, precisamos expressar as variáveis em termos umas das outras usando a equação do plano.
A equação do plano é:
12x + 20y + 10z = 60
Podemos resolver para z = 60 - 12x - 20y10 = 6 - 1.2x - 2y:
Isso nos dá a expressão para em função de e , que será o limite superior para .

Passo 4

Vamos configurar os limites de integração:
  1. 6 - 1.2x - 2y = 0 implies y = 6 - 1.2x2 = 3 - 0.6x varia de 0 a 5.
  2. Para um dado , varia de 0 até o limite onde . Quando :
Então, varia de 0 a .
3. Para cada par , varia de 0 a .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
integral triplaS y , dV = integral0^5 integral0^3 - 0.6x integral0^6 - 1.2x - 2y y , dz , dy , dx

Passo 6

Vamos integrar em ordem integral0^6 - 1.2x - 2y y , dz = y cdot z |0^6 - 1.2x - 2y = y(6 - 1.2x - 2y) , e .
Primeiro, a integral em :

Passo 7

Agora, substituímos na integral e integramos em integral0^3 - 0.6x y(6 - 1.2x - 2y) , dy = integral0^3 - 0.6x (6y - 1.2xy - 2y^2) , dy :
6y 3y^2 -1.2xy -0.6x y^2 -2y^2 -23y^3
Vamos integrar termo a termo:
3y^2 - 0.6x y^2 - 23y^3 |0^3 - 0.6x
Então, a antiderivada é:

Passo 8

Agora, substituímos 3(3 - 0.6x)^2 - 0.6x (3 - 0.6x)^2 - 23(3 - 0.6x)^3 :
(3 - 0.6x)^2 = 9 - 3.6x + 0.36x^2
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro, calcule 3(9 - 3.6x + 0.36x^2) = 27 - 10.8x + 1.08x^2 -0.6x(9 - 3.6x + 0.36x^2) = -5.4x + 2.16x^2 - 0.216x^3 -23(27 - 27 times 0.6x + 9 times 0.36x^2 - 0.6x times 0.36x^2) = -23(27 - 16.2x + 3.24x^2 - 0.216x^3) = -18 + 10.8x - 2.16x^2 + 0.144x^3 :
27 - 10.8x + 1.08x^2 - 5.4x + 2.16x^2 - 0.216x^3 - 18 + 10.8x - 2.16x^2 + 0.144x^3
Agora, substituímos:
(27 - 18) + (-10.8x - 5.4x + 10.8x) + (1.08x^2 + 2.16x^2 - 2.16x^2) + (-0.216x^3 + 0.144x^3) = 9 - 5.4x + 1.08x^2 - 0.072x^3
Somando todos os termos:
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos isso em relação a integral0^5 (9 - 5.4x + 1.08x^2 - 0.072x^3) dx de 0 a 5:
9 9x -5.4x -2.7x^2 1.08x^2 0.36x^3 -0.072x^3 -0.018x^4
Integrando termo a termo:
9x - 2.7x^2 + 0.36x^3 - 0.018x^4 |0^5
Então, a antiderivada é:

Passo 10

Substituímos 9(5) - 2.7(25) + 0.36(125) - 0.018(625) = 45 - 67.5 + 45 - 11.25 = 45 + 45 - 67.5 - 11.25 = 90 - 78.75 = 11.25 :
E para , todos os termos são zero.

Resposta

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