Calcule a integral tripla , se for a região formada pelo tetraedro formado pelo plano e pelos planos coordenados.
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla , onde é o tetraedro formado pelo plano e pelos planos coordenados (os planos , e ). Isso entra no conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como determinar os limites de integração para , e dentro desse tetraedro.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro. Os planos coordenados interceptam o plano dado em pontos específicos. Vamos encontrar esses pontos de interseção para saber até onde cada variável vai.
Quando e :
Quando e :
Quando e :
Então, os vértices do tetraedro estão em , , e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para isso, precisamos expressar as variáveis em termos umas das outras usando a equação do plano.
A equação do plano é:
Podemos resolver para :
Isso nos dá a expressão para em função de e , que será o limite superior para .

Passo 4

Vamos configurar os limites de integração:
  1. varia de 0 a 5.
  2. Para um dado , varia de 0 até o limite onde . Quando :
Então, varia de 0 a .
3. Para cada par , varia de 0 a .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:

Passo 6

Vamos integrar em ordem , e .
Primeiro, a integral em :

Passo 7

Agora, substituímos na integral e integramos em :
Vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:

Passo 8

Agora, substituímos :
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro, calcule :
Agora, substituímos:
Somando todos os termos:
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos isso em relação a de 0 a 5:
Integrando termo a termo:
Então, a antiderivada é:

Passo 10

Substituímos :
E para , todos os termos são zero.

Resposta

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