Determine o quociente e o resto na divisão de f(x) por g(x).
(a) f(x) = x^4 + 5*x^3 - 20*x^2 + 4 e g(x) = x + 1
(b) f(x) = x^5 + 5x^4 - x^3 - 8x e g(x) = x - 3
© f(x) = x^6 + 3 x^4 + x^2 e g(x) = x - raiz(5)
(d) f(x) = x^3 + 5 x^2 - 20 x + 4 e g(x) = x^2 - 4x + 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a divisão de polinômios aqui! A ideia é encontrar o quociente e o resto quando dividimos um polinômio por outro . Para isso, vamos usar o algoritmo da divisão polinomial, que é parecido com a divisão que você faz com números. Vamos precisar alinhar os termos por seus graus e seguir os passos para obter o quociente e o resto para cada letra do exercício.

Passo 2

Letra (a)

Dados:
Resolução:
  1. Dividendo: (colocamos o termo faltante com coeficiente 0).
  2. Divisor: .
Passo a passo:
  • Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: .
  • Multiplicamos por : .
  • Subtraímos do dividendo: .
  • Baixamos o próximo termo: , ficando .
  • Dividimos por : .
  • Multiplicamos por : .
  • Subtraímos: .
  • Baixamos o termo faltante , ficando .
  • Dividimos por : .
  • Multiplicamos por : .
  • Subtraímos: .
  • Baixamos o último termo , ficando .
  • Dividimos por : .
  • Multiplicamos por : .
  • Subtraímos: .
Resposta para a letra (a):

Passo 3

Letra (b)

Dados:
Resolução:
  1. Dividendo: .
  2. Divisor: .
Passo a passo:
  • Dividimos por : .
  • Multiplicamos por : .
  • Subtraímos: .
  • Baixamos , ficando .
  • Dividimos por : .
  • Multiplicamos por : .
  • Subtraímos: .
  • Baixamos , ficando .
  • Dividimos por : .
  • Multiplicamos por : .
  • Subtraímos: .
  • Baixamos , ficando .
  • Dividimos por : .
  • Multiplicamos por : .
  • Subtraímos: .
  • Baixamos , ficando .
  • Dividimos por : .
  • Multiplicamos por : .
  • Subtraímos: .
Resposta para a letra (b):

Passo 4

Letra ©

Dados:
Resolução:
Aqui, como o divisor é de primeiro grau, podemos usar o Teorema do Resto, que facilita achar o resto sem fazer toda a divisão.
Passo a passo:
  • Segundo o Teorema do Resto, o resto da divisão de por é .
  • No nosso caso, .
  • Calculamos .
  • Sabemos que , então:
    • .
    • .
  • Substituindo: .
Resposta para a letra ©:
ãá

Passo 5

Letra (d)

Dados:
Resolução:
Aqui, como o divisor é de segundo grau, precisamos fazer a divisão polinomial completa para achar o quociente e o resto.
Passo a passo:
  1. Dividendo: .
  2. Divisor: .
  • Dividimos por : .
  • Multiplicamos por : .
  • Subtraímos: .
  • Baixamos o próximo termo , ficando .
  • Dividimos por : .
  • Multiplicamos por : .
  • Subtraímos: .
Como o grau do resto é menor que o divisor , paramos por aqui.
Resposta para a letra (d):

Resposta

As divisões resultam em:
(a) Quociente: e Resto: .
(b) Quociente: e Resto: .
© Quociente: não necessário e Resto: .
(d) Quociente: e Resto: .

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