Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar
. Isso está relacionado com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de transformações lineares e espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa a imagem de uma transformação linear e como identificá-la a partir da matriz que representa
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem
de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a vetores de
. Em termos simples, é o “alcance” que a transformação
consegue atingir no espaço de chegada.
Passo 3
Agora, para encontrar
, precisamos olhar para a matriz que representa a transformação
. Supondo que
seja representado por uma matriz
de dimensões
, a imagem de
é basicamente o espaço gerado pelas colunas de
. Isso significa que a imagem é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de
.
Passo 4
Para determinar explicitamente essa imagem, podemos realizar o seguinte:
- Montar as colunas da matriz
: Liste todas as colunas da matriz que representa . - Identificar as colunas que são vetores base: Verifique quais colunas são linearmente independentes.
- Formar combinações lineares dessas colunas: Essas combinações formarão a imagem
.
Passo 5
Vamos ilustrar com um exemplo. Suponha que a matriz
seja:
Aqui, podemos ver que a segunda coluna é o dobro da primeira coluna. Isso significa que as colunas não são linearmente independentes. Portanto, a imagem de
será gerada apenas pela primeira coluna.
Passo 6
Assim, a imagem
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como uma combinação linear da primeira coluna de
:
Isso representa uma linha através da origem no espaço
.
Resposta
A imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como combinações lineares das colunas da matriz que representa
. No exemplo dado,
.
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