Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar . Isso está relacionado com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de transformações lineares e espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa a imagem de uma transformação linear e como identificá-la a partir da matriz que representa .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Em termos simples, é o “alcance” que a transformação consegue atingir no espaço de chegada.

Passo 3

Agora, para encontrar , precisamos olhar para a matriz que representa a transformação . Supondo que seja representado por uma matriz de dimensões , a imagem de é basicamente o espaço gerado pelas colunas de . Isso significa que a imagem é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de .

Passo 4

Para determinar explicitamente essa imagem, podemos realizar o seguinte:
  1. Montar as colunas da matriz : Liste todas as colunas da matriz que representa .
  2. Identificar as colunas que são vetores base: Verifique quais colunas são linearmente independentes.
  3. Formar combinações lineares dessas colunas: Essas combinações formarão a imagem .

Passo 5

Vamos ilustrar com um exemplo. Suponha que a matriz seja:
Aqui, podemos ver que a segunda coluna é o dobro da primeira coluna. Isso significa que as colunas não são linearmente independentes. Portanto, a imagem de será gerada apenas pela primeira coluna.

Passo 6

Assim, a imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como uma combinação linear da primeira coluna de :
Isso representa uma linha através da origem no espaço .

Resposta

A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como combinações lineares das colunas da matriz que representa . No exemplo dado, .

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