Calcule a média e a variância para esta distribuição de Bernoulli.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a média e a variância de uma distribuição de Bernoulli. Estamos lidando com probabilidade e estatística, especificamente com distribuições discretas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam a média (ou valor esperado) e a variância na distribuição de Bernoulli, além de saber a fórmula de cada uma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição de Bernoulli. É uma distribuição de probabilidade discreta que tem apenas dois resultados possíveis: sucesso (geralmente representado por 1) e fracasso (representado por 0). A probabilidade de sucesso é denotada por , e a de fracasso por .

Passo 3

Agora, vamos calcular a média dessa distribuição. A média, ou valor esperado E[X] = p times 1 + (1 - p) times 0 = p , de uma distribuição de Bernoulli é dada por:
Então, a média é simplesmente a probabilidade de sucesso .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a variância da distribuição de Bernoulli. A variância Var(X) = p times (1 - p)^2 + (1 - p) times (0 - p)^2 mede o quanto os valores de uma variável aleatória se desviam da média. Para a distribuição de Bernoulli, a variância é calculada por:
Var(X) = p(1 - 2p + p^2) + (1 - p)(p^2)
Simplificando essa expressão:
Var(X) = p - 2p^2 + p^3 + p^2 - p^3
Var(X) = p - p^2 = p(1 - p)
Portanto, a variância é .

Resposta

A média da distribuição de Bernoulli é e a variância é .

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