Determine se os seguintes modelos são intrinsicamente lineares. Se afirmativo, determine a transformação apropriada para gerar o modelo linear.
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Resposta: Sim
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Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo: temos o modelo
e precisamos determinar se ele é intrinsecamente linear. Além disso, se for linear, temos que encontrar a transformação certa para deixá-lo nesse formato.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com modelos de regressão linear e não-linear, e precisamos entender como transformar modelos não-lineares em lineares para facilitar a análise.
O que vamos precisar: Conceitos de modelos lineares, propriedades de linearidade em relação aos parâmetros, e técnicas de transformação como o uso do logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um modelo ser intrinsecamente linear. Um modelo é considerado linear se ele é linear nos parâmetros, mesmo que possa não ser linear nas variáveis. Isso quer dizer que, se conseguimos expressar o modelo de forma que cada parâmetro apareça apenas como multiplicador de uma função das variáveis, então ele é linear.
Olhemos para o modelo dado:
Aqui, o parâmetro
está no expoente, o que dificulta a linéaridade direta em relação aos parâmetros.
Passo 3
Para verificar a linearidade, podemos tentar transformar o modelo de modo que ele se torne linear em relação aos parâmetros. Uma técnica comum é usar o logaritmo. Vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Aqui,
representa o erro após a transformação.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que
e
. Aplicando essas propriedades:
Onde
é o novo termo de erro.
Agora, a equação está na forma:
Isso mostra que o modelo está agora linear em relação aos parâmetros
e
.
Resposta
Sim, o modelo
é intrinsecamente linear após aplicar a transformação logarítmica. A transformação apropriada é tomar o logaritmo natural de ambos os lados da equação, resultando em:
Dessa forma, o modelo se torna linear em relação aos parâmetros
e
.
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para a resistência à tração, quando
e
. (Resposta:
)
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