Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
s^2+2(s+2)(s^2+2,77 s+12)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa unilateral de:
s^2+2(s+2)(s^2+2,77 s+12)
Isso está dentro da matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar usar a decomposição em frações parciais para facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Isso significa escrever a fração complexa como uma soma de frações mais simples que a gente já sabe inverter. A nossa função tem um fator linear (s+2) e um fator quadrático (s^2+2,77 s+12).
Então, assumimos que:
s^2+2(s+2)(s^2+2,77 s+12) = As+2 + Bs + Cs^2+2,77 s+12
Onde A, B e C são constantes que vamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (s+2)(s^2+2,77 s+12):
s^2 + 2 = A(s^2 + 2,77 s + 12) + (Bs + C)(s + 2)
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
s^2 + 2 = A s^2 + 2,77 A s + 12 A + B s^2 + 2 B s + C s + 2 C
Combine os termos semelhantes:
s^2 + 2 = (A + B)s^2 + (2,77 A + 2 B + C)s + (12 A + 2 C)

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes nos dois lados da igualdade:
Para s^2:
1 = A + B
Para s:
0 = 2,77 A + 2 B + C
Para o termo constante:
2 = 12 A + 2 C
Temos um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
B = 1 - A
Substituímos B na segunda equação:
0 = 2,77 A + 2(1 - A) + C 0 = 2,77 A + 2 - 2 A + C 0 = 0,77 A + 2 + C C = -0,77 A - 2
Agora, substituímos A e C na terceira equação:
2 = 12 A + 2(-0,77 A - 2) 2 = 12 A - 1,54 A - 4 2 = 10,46 A - 4 6 = 10,46 A A = 610,46 approx 0,573
Então:
B = 1 - 0,573 approx 0,427 C = -0,77 times 0,573 - 2 approx -0,441 - 2 = -2,441

Passo 6

Agora que temos A, B e C, podemos reescrever a função original:
s^2+2(s+2)(s^2+2,77 s+12) approx 0,573s+2 + 0,427 s - 2,441s^2+2,77 s+12
Vamos inverter cada termo separadamente.

Passo 7

Primeiro, vamos inverter 0,573s+2. Sabemos que:
L^-11s+a = e^-a t
Então:
L^-10,573s+2 = 0,573 e^-2 t

Passo 8

Agora, vamos inverter 0,427 s - 2,441s^2+2,77 s+12. Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
s^2 + 2,77 s + 12 = (s + 2,772)^2 + (12 - (2,772)^2) = (s + 1,385)^2 + (12 - 1,920)^2 = (s + 1,385)^2 + 10,08
Isso nos permite escrever a fração na forma padrão para inversão:
0,427 s - 2,441(s + 1,385)^2 + 10,08 = 0,427 (s + 1,385) - (0,427 times 1,385 + 2,441)(s + 1,385)^2 + 10,08
Calculando os coeficientes:
0,427 times 1,385 approx 0,591 0,591 + 2,441 approx 3,032
Então:
0,427 s - 2,441(s + 1,385)^2 + 10,08 = 0,427 (s + 1,385) - 3,032(s + 1,385)^2 + 10,08

Passo 9

Agora, usamos as transformadas inversas conhecidas:
L^-1s + a(s + a)^2 + b^2 = e^-a t cos(b t) L^-1b(s + a)^2 + b^2 = e^-a t sin(b t)
Aplicando isso à nossa função:
L^-10,427 (s + 1,385)(s + 1,385)^2 + 10,08 = 0,427 e^-1,385 t cos(raiz10,08 t) L^-1-3,032(s + 1,385)^2 + 10,08 = -3,032raiz10,08 e^-1,385 t sin(raiz10,08 t)
Calculando raiz10,08 approx 3,176:
- 3,0323,176 approx -0,955
Então:
0,427 e^-1,385 t cos(3,176 t) - 0,955 e^-1,385 t sin(3,176 t)

Resposta

A transformada inversa de Laplace é aproximadamente:
0,573, e^-2 t + 0,427, e^-1,385 t cos(3,176 t) - 0,955, e^-1,385 t sin(3,176 t)

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