Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa unilateral de:
Isso está dentro da matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar usar a decomposição em frações parciais para facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Isso significa escrever a fração complexa como uma soma de frações mais simples que a gente já sabe inverter. A nossa função tem um fator linear
e um fator quadrático
.
Então, assumimos que:
Onde A, B e C são constantes que vamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Combine os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes nos dois lados da igualdade:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Temos um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
Substituímos B na segunda equação:
Agora, substituímos A e C na terceira equação:
Então:
Passo 6
Agora que temos A, B e C, podemos reescrever a função original:
Vamos inverter cada termo separadamente.
Passo 7
Primeiro, vamos inverter
. Sabemos que:
Então:
Passo 8
Agora, vamos inverter
. Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Isso nos permite escrever a fração na forma padrão para inversão:
Calculando os coeficientes:
Então:
Passo 9
Agora, usamos as transformadas inversas conhecidas:
Aplicando isso à nossa função:
Calculando
:
Então:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é aproximadamente: