Para um sistema com função de transferência,
H(s)=2 s+3s^2+2 s+5
  • Para este sistema, escreva a equação diferencial que relaciona a saída y(t) com a entrada x(t) assumindo que o sistema é considerado observável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de transferência que relaciona a saída H(s) = 2s + 3s^2 + 2s + 5 com a entrada :
O que precisamos fazer é transformar essa função de transferência em uma equação diferencial que conecta e . Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e como ela liga funções no domínio do tempo com funções no domínio de .

Passo 2

Primeiro, lembrando que a função de transferência H(s) = Y(s)X(s) é a razão entre a transformada de Laplace da saída Y(s) = H(s) cdot X(s) = 2s + 3s^2 + 2s + 5 cdot X(s) e a transformada de Laplace da entrada :
Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por (s^2 + 2s + 5) Y(s) = (2s + 3) X(s) para eliminar o denominador:
Esse passo é importante porque facilita a transformação de volta para o domínio do tempo.

Passo 4

A próxima etapa é aplicar a transformada de Laplace inversa. Sabemos que multiplicar por na transformada de Laplace corresponde a derivar no tempo. Então:
  • vira
  • vira
  • vira
  • vira
  • vira

Passo 5

Aplicando essas transformações, a equação no domínio do tempo fica:
y''(t) + 2y'(t) + 5y(t) = 2x'(t) + 3x(t)

Resposta

A equação diferencial que relaciona a saída y''(t) + 2, y'(t) + 5, y(t) = 2, x'(t) + 3, x(t) com a entrada é:

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