Obtenha
e
para as seguintes funções de transferência em malha fechada,
Considere os seguintes casos,
- (i)
- (ii)
- (iii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar quatro coisas importantes para cada função de transferência dada: o fator de amortecimento (
), a frequência natural (
), o tempo de acomodação (
) e o tempo de pico (
). Isso tudo faz parte da matéria de Controle de Sistemas, onde estudamos como sistemas reagem a diferentes entradas. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam esses parâmetros com a função de transferência de um sistema de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma geral de uma função de transferência de segunda ordem, que é:
Aqui,
é o ganho do sistema,
é a frequência natural e
é o fator de amortecimento.
Passo 3
Vamos comparar essa forma com as funções de transferência que o exercício nos deu. Por exemplo, a primeira função é:
Podemos ver que o numerador é
e o denominador é
.
Passo 4
Agora, identificamos os coeficientes comparando com a forma geral. No denominador:
- O coeficiente de
é - O termo constante é
Passo 5
Vamos resolver para
:
Passo 6
Agora, usando
, substituímos
:
Passo 7
Para encontrar o ganho
, observamos o numerador:
Mas o exercício pede para considerar
,
e
, então vamos ajustar os cálculos para cada caso.
Passo 8
Caso (i)
:
Então, a função de transferência fica:
Passo 9
Caso (ii)
:
Já calculamos:
Já calculamos:
Passo 10
Caso (iii)
:
Então, a função de transferência fica:
Passo 11
Agora, vamos calcular os tempos
e
. As fórmulas são:
Passo 12
Com
e
, substituímos nas fórmulas:
Resposta
Para todas as funções de transferência considerando os diferentes valores de
:
-
(fator de amortecimento): 0.5 -
(frequência natural): 4 rad/s -
(tempo de acomodação): 2 segundos -
(tempo de pico): aproximadamente 0.909 segundos
Esses valores são os mesmos para
,
e
, já que
e
dependem apenas dos coeficientes do denominador da função de transferência.