Obtenha zeta, omegan, Ts e Tp para as seguintes funções de transferência em malha fechada,
T(s) & =16s^2+4 s+16 T(s) & =2,22s^2+1,98 s+9
T(s)=10,18s^2+4 s+16
Considere os seguintes casos,
  • (i) K=0.1
  • (ii) K=1
  • (iii) K=10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar quatro coisas importantes para cada função de transferência dada: o fator de amortecimento ( zeta), a frequência natural ( omegan), o tempo de acomodação ( Ts) e o tempo de pico ( Tp). Isso tudo faz parte da matéria de Controle de Sistemas, onde estudamos como sistemas reagem a diferentes entradas. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam esses parâmetros com a função de transferência de um sistema de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma geral de uma função de transferência de segunda ordem, que é:
T(s) = K omegan^2s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2
Aqui, K é o ganho do sistema, omegan é a frequência natural e zeta é o fator de amortecimento.

Passo 3

Vamos comparar essa forma com as funções de transferência que o exercício nos deu. Por exemplo, a primeira função é:
T(s) = 16s^2 + 4s + 16
Podemos ver que o numerador é 16 e o denominador é s^2 + 4s + 16.

Passo 4

Agora, identificamos os coeficientes comparando com a forma geral. No denominador:
  • O coeficiente de s é 2 zeta omegan = 4
  • O termo constante é omegan^2 = 16

Passo 5

Vamos resolver para omegan:
omegan^2 = 16 Rightarrow omegan = raiz16 = 4 , rad/s

Passo 6

Agora, usando 2 zeta omegan = 4, substituímos omegan:
2 zeta times 4 = 4 Rightarrow zeta = 48 = 0.5

Passo 7

Para encontrar o ganho K, observamos o numerador:
K omegan^2 = 16 Rightarrow K = 16omegan^2 = 1616 = 1
Mas o exercício pede para considerar K=0.1, K=1 e K=10, então vamos ajustar os cálculos para cada caso.

Passo 8

Caso (i) K = 0.1:
K omegan^2 = 0.1 times 16 = 1.6
Então, a função de transferência fica:
T(s) = 1.6s^2 + 4s + 16

Passo 9

Caso (ii) K = 1:
Já calculamos:
T(s) = 16s^2 + 4s + 16

Passo 10

Caso (iii) K = 10:
K omegan^2 = 10 times 16 = 160
Então, a função de transferência fica:
T(s) = 160s^2 + 4s + 16

Passo 11

Agora, vamos calcular os tempos Ts e Tp. As fórmulas são:
Ts = 4zeta omegan
Tp = piomegan raiz1 - zeta^2

Passo 12

Com zeta = 0.5 e omegan = 4, substituímos nas fórmulas:
Ts = 40.5 times 4 = 42 = 2 , segundos
Tp = pi4 raiz1 - 0.25 = pi4 times raiz0.75 = pi4 times 0.866 approx 3.14163.464 approx 0.909 , segundos

Resposta

Para todas as funções de transferência considerando os diferentes valores de K:
  • zeta (fator de amortecimento): 0.5
  • omegan (frequência natural): 4 rad/s
  • Ts (tempo de acomodação): 2 segundos
  • Tp (tempo de pico): aproximadamente 0.909 segundos
Esses valores são os mesmos para K = 0.1, K = 1 e K = 10, já que zeta e omegan dependem apenas dos coeficientes do denominador da função de transferência.

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