Determine a velocidade escalar teórica máxima que um automóvel de 1200 kg partindo do repouso pode alcançar depois de ter percorrido 400 m se a resistência do ar for considerada. Assuma que o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o pavimento é 0,70 , que o automóvel tem tração nas rodas dianteiras, que as rodas dianteiras suportam 62 % do peso do automóvel e que o arrasto aerodinâmico D tem uma intensidade D=0,012 v^2, onde D e v são expressos em newtons e m/s, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a velocidade máxima que um carro de 1200 kg pode alcançar depois de percorrer 400 metros, levando em conta a resistência do ar. Para isso, vamos usar conceitos de física relacionados à força de tração, resistência aerodinâmica e movimento com aceleração variável.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a força máxima de tração que os pneus podem exercer sem escorregar. Essa força depende do coeficiente de atrito estático ( Nfrente = 0,62 times m times g ) e da força normal ( Nfrente = 0,62 times 1200 times 9,81 approx 7293,6,N ) que age sobre as rodas dianteiras.
A força normal nas rodas dianteiras é dada por:
onde:
  • é a massa do carro,
  • ² é a aceleração da gravidade.
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, calculamos a força máxima de tração ( Ftrac = mu times Nfrente ) usando o coeficiente de atrito estático:
Ftrac = 0,70 times 7293,6 approx 5105,5,N

Passo 4

A resistência aerodinâmica ( D = 0,012 times v^2 ) é dada pela fórmula:
Ftrac = D
onde 5105,5 = 0,012 times v^2 é a velocidade em .
Para encontrar a velocidade máxima, igualamos a força de tração à resistência do ar:

Passo 5

Resolvendo para v^2 = 5105,50,012 approx 425458,3 :
v = raiz425458,3 approx 652,28,m/s
Mas essa velocidade é extremamente alta para um carro comum, indicando que precisamos considerar a distância percorrida (400 metros) para encontrar uma velocidade mais realista.

Passo 6

Vamos então considerar que o carro parte do repouso e acelera até atingir a velocidade máxima após percorrer 400 metros, levando em conta a resistência do ar que aumenta com a velocidade.
A equação do movimento fica:
Ftrac - D = m times a
5105,5 - 0,012v^2 = 1200 times a
Como a aceleração depende da velocidade, temos uma equação diferencial que, ao resolver, nos dá a velocidade final após os 400 metros.

Passo 7

Após resolver a equação diferencial (usando métodos de integração), encontramos que a velocidade máxima teórica após percorrer 400 metros é aproximadamente:
v approx 58,1,m/s
Convertendo para km/h:
58,1,m/s times 3,6 approx 209,km/h

Resposta

A velocidade escalar teórica máxima que o automóvel pode alcançar após percorrer 400 metros é de aproximadamente 58,1 m/s (ou 209 km/h).

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