Suponha que você meça o diâmetro
de uma esfera como 2,0士0,1 cm e então calcula o volume da esfera
). Como o volume e o seu erro devem ser expressos adequadamente?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Você mediu o diâmetro $ D $ de uma esfera como $ 2,0 \pm 0,1 $ cm e quer calcular o volume $ V $ dela usando a fórmula $ V = \frac{4\pi}{3} r^3 $. A matéria aqui envolve geometria espacial, mais especificamente o cálculo de volume de uma esfera, e também trata de propagação de erros para saber como o erro na medição do diâmetro afeta o erro no volume calculado. Vamos precisar usar a fórmula do volume da esfera e entender como propagar o erro da medida do diâmetro para o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o diâmetro $ D $ da esfera é o dobro do raio $ r $. Ou seja:
Então, se $ D = 2,0 \pm 0,1 $ cm, o raio será:
Agora, precisamos calcular o erro no raio. Como o erro no diâmetro é $ \pm 0,1 $ cm, o erro no raio será metade disso:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do volume da esfera:
Substituindo $ r = 1,0 $ cm:
Passo 4
Para encontrar o erro no volume ($ \Delta V
\Delta r $) afeta o volume. Usamos a propagação de erros para funções de potência, que diz que:
Então, rearranjando para encontrar $ \Delta V $:
Substituindo os valores que já temos:
Resposta
O volume da esfera é $ V = 4,19 \pm 0,63 $ cm³.