Suponha que você meça o diâmetro D de uma esfera como 2,0士0,1 cm e então calcula o volume da esfera V=4 pi / 3(r 3 ). Como o volume e o seu erro devem ser expressos adequadamente?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Você mediu o diâmetro $ D $ de uma esfera como $ 2,0 \pm 0,1 $ cm e quer calcular o volume $ V $ dela usando a fórmula $ V = \frac{4\pi}{3} r^3 $. A matéria aqui envolve geometria espacial, mais especificamente o cálculo de volume de uma esfera, e também trata de propagação de erros para saber como o erro na medição do diâmetro afeta o erro no volume calculado. Vamos precisar usar a fórmula do volume da esfera e entender como propagar o erro da medida do diâmetro para o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o diâmetro $ D $ da esfera é o dobro do raio $ r $. Ou seja:
D
Então, se $ D = 2,0 \pm 0,1 $ cm, o raio será:
r
Agora, precisamos calcular o erro no raio. Como o erro no diâmetro é $ \pm 0,1 $ cm, o erro no raio será metade disso:
r = D2

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do volume da esfera:
V = 4pi3 r^3
Substituindo $ r = 1,0 $ cm:
r = 1,0

Passo 4

Para encontrar o erro no volume ($ \Delta V De \Delta r $) afeta o volume. Usamos a propagação de erros para funções de potência, que diz que:
De
Então, rearranjando para encontrar $ \Delta V $:
De
Substituindo os valores que já temos:
De

Resposta

O volume da esfera é $ V = 4,19 \pm 0,63 $ cm³.

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