Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor do parâmetro
dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
e precisa encontrar o vetor tangente unitário
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada de funções vetoriais e a normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor velocidade, que é o vetor tangente à curva.
Calculando componente a componente:
Passo 3
Agora, vamos avaliar a derivada
no ponto
:
Sabemos que:
Substituindo esses valores:
Passo 4
Para encontrar o vetor tangente unitário
, precisamos normalizar o vetor derivada
. Isso significa dividir o vetor derivada pelo seu comprimento (ou módulo).
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Passo 5
Agora, dividimos cada componente do vetor derivada pelo seu módulo para obter o vetor tangente unitário:
Resposta
O vetor tangente unitário no ponto onde
é: