Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor do parâmetro t dado.
r(t) = t i + 2 sen(t) j + 3 cos(t), t = pi / 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial e precisa encontrar o vetor tangente unitário no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada de funções vetoriais e a normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor velocidade, que é o vetor tangente à curva.
Calculando componente a componente:

Passo 3

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :
Sabemos que:
Substituindo esses valores:

Passo 4

Para encontrar o vetor tangente unitário , precisamos normalizar o vetor derivada . Isso significa dividir o vetor derivada pelo seu comprimento (ou módulo).
Primeiro, calculamos o módulo de :

Passo 5

Agora, dividimos cada componente do vetor derivada pelo seu módulo para obter o vetor tangente unitário:

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto onde é:

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