A indústria de produção de whisky na Escócia é perfeitamente competitiva com muitos produtores tomadores de preços. Cada firma nessa indústria possui a seguinte curva de custo médio de longo prazo por caixa de whisky:
C Me=5q^2-10q+20
A demanda por caixa de whisky é dada pela seguinte equação:
Q = 300 - 10 p
Qual a quantidade produzida pela indústria? Quantas firmas existem nessa indústria?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a indústria de produção de whisky na Escócia, que é perfeitamente competitiva. Isso significa que tem muitas empresas vendendo whisky e todas elas são “tomadoras de preço”, ou seja, não conseguem influenciar o preço do produto. A gente precisa descobrir qual a quantidade total produzida por essa indústria e quantas empresas existem nela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de economia relacionados à concorrência perfeita e custos de produção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva de custo médio de longo prazo por caixa de whisky, que é dada por:
Aqui, representa o custo médio por caixa produzida, e é a quantidade produzida por cada empresa. Em concorrência perfeita, no longo prazo, as empresas operam no ponto onde o custo médio é mínimo. Isso significa que cada empresa estará produzindo na quantidade onde é mínimo.

Passo 3

Para encontrar a quantidade que minimiza o custo médio, vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para :
Então, cada empresa produz 1 caixa de whisky para minimizar seu custo médio.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o preço de equilíbrio. Em concorrência perfeita, o preço é igual ao custo médio mínimo. Substituindo na função de :
Portanto, o preço de equilíbrio é 15 unidades monetárias por caixa de whisky.

Passo 5

Com o preço determinado, vamos usar a função de demanda para encontrar a quantidade total produzida pela indústria. A demanda é dada por:
Substituindo :
Então, a quantidade total produzida pela indústria é de 150 caixas de whisky.

Passo 6

Finalmente, para encontrar o número de empresas na indústria, dividimos a quantidade total pela quantidade produzida por cada empresa :
ú

Resposta

A quantidade produzida pela indústria é de 150 caixas de whisky e existem 150 empresas nesse setor.

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