Determine o zero da função f(x) = x3 - 7,5x2 + 12x +3 existente entre os valores de 4,5 e 6 de x, com E=0,05 e assinale a alternativa correta: Escolha uma:
a. x = 4,96.
b. x = 5,99.
c. x = 9,47.
d. x = 4,86.
e. x = 5,97.
a. x = 4,96.
b. x = 5,99.
c. x = 9,47.
d. x = 4,86.
e. x = 5,97.
Passo 1
Vamos resolver um problema de matemática onde precisamos encontrar o zero da função $ f(x) = x^3 - 7,5x^2 + 12x + 3 $ no intervalo entre $ x = 4,5 $ e $ x = 6 $. Para isso, vamos usar o método da bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas. Vamos precisar iterar esse método até achar um valor de $ x $ que torne $ f(x) $ próximo de zero, com uma margem de erro de $ E = 0,05 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o zero de uma função. O zero de uma função $ f(x) $ é o valor de $ x $ onde $ f(x) = 0 $. No nosso caso, queremos descobrir quando $ x^3 - 7,5x^2 + 12x + 3 = 0 $.
Passo 3
Vamos aplicar o método da bissecção. Esse método funciona dividindo o intervalo em duas partes e verificando em qual delas a função muda de sinal, ou seja, passa de positiva para negativa ou vice-versa. Isso indica que há uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Primeiro, calculamos $ f(4,5) $:
Agora, calculamos $ f(6) $:
Como $ f(4,5) $ é negativo e $ f(6) $ é positivo, sabemos que a raiz está entre 4,5 e 6.
Passo 5
Vamos encontrar o ponto médio desse intervalo:
Calculamos $ f(5,25) $:
Como $ f(5,25) $ é positivo e $ f(4,5) $ é negativo, a raiz está entre 4,5 e 5,25.
Passo 6
Calculamos o novo ponto médio:
Calculamos $ f(4,875) $:
Agora, $ f(4,875) $ é negativo e $ f(5,25) $ é positivo, então a raiz está entre 4,875 e 5,25.
Passo 7
Mais uma iteração:
Calculamos $ f(5,0625) $:
Como $ f(5,0625) $ é positivo e $ f(4,875) $ é negativo, a raiz está entre 4,875 e 5,0625.
Passo 8
Mais uma iteração para refinar:
Calculamos $ f(4,96875) $:
Agora, $ f(4,96875) $ é negativo e $ f(5,0625) $ é positivo, então a raiz está entre 4,96875 e 5,0625.
Passo 9
Finalmente, calculamos o ponto médio:
Calculamos $ f(5,015625) $:
A diferença entre $ x_{m} = 4,96875 $ e $ x_{m} = 5,015625 $ está dentro do erro permitido de $ E = 0,05 $.
Resposta
A alternativa correta é e. x = 5,97.