Determine o zero da função f(x) = x3 - 7,5x2 + 12x +3 existente entre os valores de 4,5 e 6 de x, com E=0,05 e assinale a alternativa correta: Escolha uma:
a. x = 4,96.
b. x = 5,99.
c. x = 9,47.
d. x = 4,86.
e. x = 5,97.

Passo 1

Vamos resolver um problema de matemática onde precisamos encontrar o zero da função $ f(x) = x^3 - 7,5x^2 + 12x + 3 $ no intervalo entre $ x = 4,5 $ e $ x = 6 $. Para isso, vamos usar o método da bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas. Vamos precisar iterar esse método até achar um valor de $ x $ que torne $ f(x) $ próximo de zero, com uma margem de erro de $ E = 0,05 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o zero de uma função. O zero de uma função $ f(x) $ é o valor de $ x $ onde $ f(x) = 0 $. No nosso caso, queremos descobrir quando $ x^3 - 7,5x^2 + 12x + 3 = 0 $.

Passo 3

Vamos aplicar o método da bissecção. Esse método funciona dividindo o intervalo em duas partes e verificando em qual delas a função muda de sinal, ou seja, passa de positiva para negativa ou vice-versa. Isso indica que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Primeiro, calculamos $ f(4,5) $:
f(4,5)
Agora, calculamos $ f(6) $:
f(4,5) = (4,5)^3 - 7,5 times (4,5)^2 + 12 times 4,5 + 3 = 91,125 - 151,875 + 54 + 3 = -3,75
Como $ f(4,5) $ é negativo e $ f(6) $ é positivo, sabemos que a raiz está entre 4,5 e 6.

Passo 5

Vamos encontrar o ponto médio desse intervalo:
xm = 4,5 + 62 = 5,25
Calculamos $ f(5,25) $:
f(5,25)
Como $ f(5,25) $ é positivo e $ f(4,5) $ é negativo, a raiz está entre 4,5 e 5,25.

Passo 6

Calculamos o novo ponto médio:
xm = 4,5 + 5,252 = 4,875
Calculamos $ f(4,875) $:
f(4,875)
Agora, $ f(4,875) $ é negativo e $ f(5,25) $ é positivo, então a raiz está entre 4,875 e 5,25.

Passo 7

Mais uma iteração:
xm = 4,875 + 5,252 = 5,0625
Calculamos $ f(5,0625) $:
f(5,0625)
Como $ f(5,0625) $ é positivo e $ f(4,875) $ é negativo, a raiz está entre 4,875 e 5,0625.

Passo 8

Mais uma iteração para refinar:
xm = 4,875 + 5,06252 = 4,96875
Calculamos $ f(4,96875) $:
f(4,96875)
Agora, $ f(4,96875) $ é negativo e $ f(5,0625) $ é positivo, então a raiz está entre 4,96875 e 5,0625.

Passo 9

Finalmente, calculamos o ponto médio:
xm = 4,96875 + 5,06252 = 5,015625
Calculamos $ f(5,015625) $:
f(5,015625)
A diferença entre $ x_{m} = 4,96875 $ e $ x_{m} = 5,015625 $ está dentro do erro permitido de $ E = 0,05 $.

Resposta

A alternativa correta é e. x = 5,97.

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