O diâmetro
de um cabo elétrico supõe-se ser uma variável aleatória de função densidade de probabilidade (fdp)
Verifique que de fato essa função define uma fdp.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função dada realmente é uma função densidade de probabilidade (fdp) para o diâmetro $ X $ de um cabo elétrico. Isso envolve entender um pouquinho de Probabilidade, mais especificamente sobre funções densidade. A gente vai precisar conferir duas coisas principais: se a função é sempre não negativa e se a integral dela no seu domínio é igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função:
A gente vê que para qualquer $ x $ entre 0 e 1, a função é $ 6x(1 - x) $ e é zero fora desse intervalo.
Passo 3
O primeiro critério para ser uma fdp é que $ f(x) $ seja sempre maior ou igual a zero. Vamos verificar isso:
- Dentro do intervalo [0, 1], temos $ x \geq 0 $ e $ 1 - x \geq 0 $ porque $ x $ não passa de 1.
- Multiplicando esses termos por 6, que é positivo, a função $ 6x(1 - x) $ também é sempre não negativa nesse intervalo.
- Fora de [0, 1], a função é zero, que também atende a condição.
Então, a função cumpre o primeiro critério.
Passo 4
Agora, vamos ao segundo critério: a integral de $ f(x) $ sobre todo o seu domínio precisa ser igual a 1. Como a função é diferente de zero apenas entre 0 e 1, vamos calcular:
Vamos resolver essa integral.
Passo 5
Primeiro, expandimos a função dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, integramos termo a termo.
Passo 6
Calculando a integral:
E:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
Como a função $ f(x) $ é não negativa em todo o seu domínio e a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 é igual a 1, concluímos que $ f(x) = 6x(1 - x) $ define, de fato, uma função densidade de probabilidade.