O diâmetro X de um cabo elétrico supõe-se ser uma variável aleatória de função densidade de probabilidade (fdp)
f(x)=l 6 x(1-x), se x in[0,1] 0, caso contrário á
Verifique que de fato essa função define uma fdp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função dada realmente é uma função densidade de probabilidade (fdp) para o diâmetro $ X $ de um cabo elétrico. Isso envolve entender um pouquinho de Probabilidade, mais especificamente sobre funções densidade. A gente vai precisar conferir duas coisas principais: se a função é sempre não negativa e se a integral dela no seu domínio é igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função:
f(x) = 6x(1 - x), & se x in [0, 1] 0, & caso contrário á
A gente vê que para qualquer $ x $ entre 0 e 1, a função é $ 6x(1 - x) $ e é zero fora desse intervalo.

Passo 3

O primeiro critério para ser uma fdp é que $ f(x) $ seja sempre maior ou igual a zero. Vamos verificar isso:
  • Dentro do intervalo [0, 1], temos $ x \geq 0 $ e $ 1 - x \geq 0 $ porque $ x $ não passa de 1.
  • Multiplicando esses termos por 6, que é positivo, a função $ 6x(1 - x) $ também é sempre não negativa nesse intervalo.
  • Fora de [0, 1], a função é zero, que também atende a condição.
Então, a função cumpre o primeiro critério.

Passo 4

Agora, vamos ao segundo critério: a integral de $ f(x) $ sobre todo o seu domínio precisa ser igual a 1. Como a função é diferente de zero apenas entre 0 e 1, vamos calcular:
f(x)
Vamos resolver essa integral.

Passo 5

Primeiro, expandimos a função dentro da integral:
6x(1 - x) = 6x - 6x^2
Então, a integral fica:
integral0^1 (6x - 6x^2) , dx
Agora, integramos termo a termo.

Passo 6

Calculando a integral:
integral0^1 6x , dx = 6 cdot ( x^22 ) g|0^1 = 6 cdot ( 12 - 0 ) = 3
E:
integral0^1 6x^2 , dx = 6 cdot ( x^33 ) g|0^1 = 6 cdot ( 13 - 0 ) = 2
Subtraindo os dois resultados:
3 - 2 = 1

Resposta

Como a função $ f(x) $ é não negativa em todo o seu domínio e a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 é igual a 1, concluímos que $ f(x) = 6x(1 - x) $ define, de fato, uma função densidade de probabilidade.

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