Prove, fazendo as contas, que
binomn+2p+2=binomnp+2binomnp+1+binomnp+2
supondo n um real qualquer e p inteiro não-negativo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa provar que a combinação binomn+2p+2 é igual a binomnp + 2binomnp+1 + binomnp+2. Para fazer isso, vamos usar a fórmula das combinações, que é uma parte da matéria de combinatória. Vamos precisar lembrar como calcular combinações e manipular as fórmulas para chegar na igualdade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da combinação. A combinação de n elementos escolhidos k de cada vez é dada por:
binomnk = n!k!(n - k)!
onde n! é o fatorial de n, ou seja, n! = n times (n-1) times dots times 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo da equação que queremos provar usando essa fórmula.
Primeiro, vamos calcular binomn+2p+2:
binomn+2p+2 = (n+2)!(p+2)! , (n+2 - (p+2))! = (n+2)!(p+2)! , (n - p)!

Passo 4

Em seguida, vamos calcular binomnp:
binomnp = n!p! , (n - p)!

Passo 5

Agora, calculamos 2binomnp+1:
2binomnp+1 = 2 times n!(p+1)! , (n - (p+1))! = 2n!(p+1)! , (n - p - 1)!

Passo 6

E por último, calculamos binomnp+2:
binomnp+2 = n!(p+2)! , (n - (p+2))! = n!(p+2)! , (n - p - 2)!

Passo 7

Agora, vamos somar os três termos que calculamos:
binomnp + 2binomnp+1 + binomnp+2 = n!p! , (n - p)! + 2n!(p+1)! , (n - p - 1)! + n!(p+2)! , (n - p - 2)!

Passo 8

Para somar essas frações, precisamos encontrar um denominador comum. Observando os denominadores, podemos notar que (p+2)! , (n - p - 2)! é um múltiplo comum. Vamos reescrever cada termo com esse denominador:
n!p! , (n - p)! = n! (p+1)(p+2)(p+2)! , (n - p)! = n! (p+1)(p+2)(p+2)! , (n - p - 2)! (n - p -1)(n - p)
Mas isso fica complicado, então vamos usar uma abordagem diferente: reconhecer que a combinação binomn+2p+2 pode ser expandida usando propriedades das combinações.

Passo 9

Sabemos que as combinações seguem a identidade:
binomn+2p+2 = binomn+1p+1 + binomn+1p+2
E novamente aplicando essa identidade em binomn+1p+1 e binomn+1p+2, temos:
binomn+2p+2 = ( binomnp + binomnp+1 ) + ( binomnp+1 + binomnp+2 )

Passo 10

Simplificando a soma:
binomn+2p+2 = binomnp + 2binomnp+1 + binomnp+2

Resposta

Provei que binomn+2p+2 = binomnp + 2binomnp+1 + binomnp+2, conforme solicitado.

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