Prove, fazendo as contas, que
supondo
um real qualquer e
inteiro não-negativo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa provar que a combinação
é igual a
. Para fazer isso, vamos usar a fórmula das combinações, que é uma parte da matéria de combinatória. Vamos precisar lembrar como calcular combinações e manipular as fórmulas para chegar na igualdade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da combinação. A combinação de
elementos escolhidos
de cada vez é dada por:
onde
é o fatorial de
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada termo da equação que queremos provar usando essa fórmula.
Primeiro, vamos calcular
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Passo 6
E por último, calculamos
:
Passo 7
Agora, vamos somar os três termos que calculamos:
Passo 8
Para somar essas frações, precisamos encontrar um denominador comum. Observando os denominadores, podemos notar que
é um múltiplo comum. Vamos reescrever cada termo com esse denominador:
Mas isso fica complicado, então vamos usar uma abordagem diferente: reconhecer que a combinação
pode ser expandida usando propriedades das combinações.
Passo 9
Sabemos que as combinações seguem a identidade:
E novamente aplicando essa identidade em
e
, temos:
Passo 10
Simplificando a soma:
Resposta
Provei que
, conforme solicitado.