Prove, usando um argumento combinatório, que Cn^p=Cn^n-p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando argumentos combinatórios, que $ C_{n}^{p} = C_{n}^{n-p} $. A gente está falando sobre combinações, que é parte da combinatória. Então, vamos precisar entender o que significa escolher $ p $ elementos de um conjunto de $ n $ elementos e ver por que isso é igual a escolher $ n-p $ elementos do mesmo conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que $ C_{n}^{p} $ representa. Esse símbolo é conhecido como “coeficiente binomial” ou “combinação” e nos diz de quantas maneiras podemos escolher $ p $ elementos de um conjunto de $ n $ elementos, sem se importar com a ordem.

Passo 3

Agora, pense que ao escolher $ p $ elementos para formar um subconjunto, estamos simultaneamente deixando de fora $ n-p $ elementos do conjunto original. Ou seja, escolher $ p $ elementos é o mesmo que deixar $ n-p $ elementos de fora.

Passo 4

Então, se temos um conjunto de $ n $ elementos, e queremos escolher $ p $ deles, isso é equivalente a escolher quais $ n-p $ elementos vão ficar de fora. Portanto, o número de maneiras de fazer isso deve ser igual.

Passo 5

Matematicamente, isso significa que o número de combinações de $ p $ elementos de $ n $ ($ C_{n}^{p} $) é igual ao número de combinações de $ n-p $ elementos de $ n $ ($ C_{n}^{n-p} $). Logo, $ C_{n}^{p} = C_{n}^{n-p} $.

Resposta

Então, provamos que $ C_{n}^{p} = C_{n}^{n-p} $ usando um argumento combinatório simples!

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