O diâmetro de uma peça de metal fabricada em uma indústria segue uma distribuição Normal com média de 50 mm e desvio padrão de 2 mm . Qual é a probabilidade de que uma peça escolhida aleatoriamente tenha um diâmetro entre 48 mm e 52 mm ?

Passo 1

Vamos resolver um problema de estatística que envolve a distribuição Normal. O enunciado nos diz que o diâmetro de uma peça de metal segue uma distribuição Normal com média de 50 mm e desvio padrão de 2 mm. Precisamos encontrar a probabilidade de que uma peça escolhida aleatoriamente tenha um diâmetro entre 48 mm e 52 mm.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição Normal. Ela é uma distribuição de probabilidade contínua em forma de sino, caracterizada pela média (μ) e pelo desvio padrão (σ). No nosso caso, μ = 50 mm e σ = 2 mm.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de um valor estar entre 48 mm e 52 mm, precisamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore Z:
Z = X - musigma
Onde:
  • é o valor da variável
  • é a média
  • é o desvio padrão

Passo 4

Vamos calcular o valor de Z1 = 48 - 502 = -22 = -1 para 48 mm:

Passo 5

Agora, calculamos o valor de Z2 = 52 - 502 = 22 = 1 para 52 mm:

Passo 6

Com os valores de (-1 e 1), vamos utilizar a tabela da distribuição Normal padrão (Tabela Z) para encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores.

Passo 7

A tabela nos mostra que a probabilidade de ser menor que 1 é aproximadamente 0,8413, e a probabilidade de ser menor que -1 é aproximadamente 0,1587.

Passo 8

Para encontrar a probabilidade de P(48 <= X <= 52) = P(Z <= 1) - P(Z <= -1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 estar entre 48 mm e 52 mm, subtraímos a probabilidade de ser menor que -1 da probabilidade de ser menor que 1:

Resposta

A probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ter um diâmetro entre 48 mm e 52 mm é de aproximadamente 68,26%.

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