Dimensionar um eixo de aço ( barsigma=120 MPa, E=210 GPa ) de seção circular cheia para suportar um momento flexão de 60 kNm . Calcular o ângulo de rotação específica da seção. Resposta: Diâmetro 172 mm ; Rotação 0,00665 rd / m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa dimensionar um eixo de aço com seção circular cheia para aguentar um momento de flexão de 60 kNm. Além disso, vamos calcular o ângulo de rotação específica dessa seção. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre tensão de flexão e propriedades geométricas de seções circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o diâmetro do eixo que suporta o momento de flexão sem exceder a tensão permitida. A fórmula que relaciona o momento de flexão ( M), a tensão máxima ( sigma), e o diâmetro ( d) de um eixo circular é:
sigma = 32Mpi d^3
Queremos encontrar d, então rearranjamos a fórmula:
d = ( 32Mpi sigma )^1/3
Vamos substituir os valores:
  • M = 60, kNm = 60 times 10^3, Nm
  • sigma = 120, MPa = 120 times 10^6, Pa
d = ( 32 times 60 times 10^3pi times 120 times 10^6 )^1/3
Calculando dentro da raiz cúbica:
32 times 60 times 10^3pi times 120 times 10^6 = 1.92 times 10^63.7699 times 10^8 approx 0.0051
Então:
d = (0.0051)^1/3 approx 0.172, m = 172, mm

Passo 3

Agora, vamos calcular o ângulo de rotação específica da seção. A rotação específica ( theta') por unidade de comprimento pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
theta' = ME cdot I
Onde:
  • E é o módulo de elasticidade ( 210, GPa = 210 times 10^9, Pa)
  • I é o momento de inércia da seção circular, que para uma seção cheia é:
I = pi d^464
Primeiro, calculamos I com d = 0.172, m:
I = pi (0.172)^464 approx 3.1416 times 0.00087864 approx 4.31 times 10^-5, m^4
Agora, substituímos na fórmula da rotação específica:
theta' = 60 times 10^3210 times 10^9 times 4.31 times 10^-5 approx 60 times 10^39.05 times 10^6 approx 0.00665, rad/m

Resposta

Diâmetro: 172 mm
Rotação: 0,00665 rad/m

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