Um disco de metal, de massa m=1.5 kg, descreve uma circunferência de raio r=30 cm em uma mesa sem atrito enquanto permanece ligado a um cilindro de massa M=4.5 kg pendurado por um fio que passa por um furo no centro da mesa. Que velocidade do disco mantém o cilindro em repouso?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um disco de metal de massa m = 1.5, kg que está se movendo em um círculo de raio r = 30, cm em uma mesa sem atrito. Esse disco está ligado a um cilindro de massa M = 4.5, kg, que está pendurado por um fio que passa por um furo no centro da mesa. Queremos descobrir qual a velocidade v do disco que mantém o cilindro parado, ou seja, em repouso.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força centrípeta e equilíbrio de forças. A ideia é que a força necessária para manter o disco em movimento circular (força centrípeta) deve ser igual à força que mantém o cilindro suspenso (peso do cilindro).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o peso do cilindro, que é a força que está puxando o fio para baixo. O peso P é dado por:
P = M cdot g
Onde:
  • M = 4.5, kg é a massa do cilindro.
  • g = 9.8, m/s^2 é a aceleração da gravidade.
Então:
P = 4.5, kg times 9.8, m/s^2 = 44.1, N

Passo 3

Essa força de peso P está equilibrada pela tensão T no fio. Então temos:
T = P = 44.1, N

Passo 4

Agora, vamos ver qual é a força centrípeta Fc necessária para que o disco se mova em círculo. A força centrípeta é dada por:
Fc = m cdot v^2r
Onde:
  • m = 1.5, kg é a massa do disco.
  • v é a velocidade que queremos descobrir.
  • r = 0.30, m é o raio da trajetória circular (convertendo 30 cm para metros).

Passo 5

Para que o cilindro fique em repouso, a tensão T no fio deve ser igual à força centrípeta Fc. Portanto:
T = Fc
Substituindo os valores:
44.1, N = 1.5, kg cdot v^20.30, m

Passo 6

Vamos isolar v na equação para encontrar a velocidade:
v^2 = 44.1, N times 0.30, m1.5, kg
v^2 = 13.231.5 = 8.82, m^2/s^2
v = raiz8.82, m^2/s^2 approx 2.97, m/s

Resposta

A velocidade do disco que mantém o cilindro em repouso é aproximadamente 2.97, m/s.

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