Dados os vetores:
obtenha (I) o resultado de
e (II) o valor aproximado do cosseno do ângulo entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores:
A gente precisa resolver duas coisas:
I. Calcular
II. Encontrar o valor aproximado do cosseno do ângulo entre e
I. Calcular
II. Encontrar o valor aproximado do cosseno do ângulo entre
Vamos usar conceitos de produto escalar e produto vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte I:
.
O produto vetorial
significa multiplicar o vetor
pelo vetor
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, calculamos o produto vetorial
. Lembrando que o produto vetorial entre dois vetores
e
é dado por:
Passo 5
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:
Então,
Passo 6
Agora, precisamos calcular o produto escalar
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 .
O produto escalar entre dois vetores
e
é:
Passo 7
Aplicando aos nossos vetores:
Calculando cada termo:
Somando:
Passo 8
Então, o resultado de
é 0.
Agora, vamos para a parte II: encontrar o valor aproximado do cosseno do ângulo entre
e
.
Passo 9
A fórmula para o cosseno do ângulo
cos(theta) = a cdot b|a| |b| entre dois vetores é:
Onde
é o produto escalar e
e
são os módulos dos vetores.
Passo 10
Primeiro, calculamos o produto escalar
a cdot b = 3(-5) + (-2)(2) + 4(-1) = -15 -4 -4 = -23 :
Passo 11
Agora, calculamos os módulos de
|a| = raiz3^2 + (-2)^2 + 4^2 = raiz9 + 4 + 16 = raiz29 approx 5,385 e
|b| = raiz(-5)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz25 + 4 + 1 = raiz30 approx 5,477 :
Passo 12
Agora, aplicamos na fórmula do cosseno:
Resposta
I.
II. O cosseno do ângulo entre
e
é aproximadamente