Dados os vetores:
a & =3 i-2 j+4 k b & =-5 i+2 j-1 k c & =4 i-2 j+1 k
obtenha (I) o resultado de a cdot(a times 4 b) e (II) o valor aproximado do cosseno do ângulo entre a e b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores:
a &= 3 i - 2 j + 4 k b &= -5 i + 2 j - 1 k c &= 4 i - 2 j + 1 k
A gente precisa resolver duas coisas:
I. Calcular
II. Encontrar o valor aproximado do cosseno do ângulo entre e
Vamos usar conceitos de produto escalar e produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte I: .
O produto vetorial significa multiplicar o vetor pelo vetor .

Passo 3

Vamos calcular 4b = 4 times (-5 i + 2 j - 1 k) = -20 i + 8 j - 4 k :

Passo 4

Agora, calculamos o produto vetorial u times v = (u2v3 - u3v2)i - (u1v3 - u3v1)j + (u1v2 - u2v1)k . Lembrando que o produto vetorial entre dois vetores e é dado por:

Passo 5

Aplicando isso aos nossos vetores:
a times 4b = i & j & k 3 & -2 & 4 -20 & 8 & -4
Calculando cada componente:
i: & (-2)(-4) - (4)(8) = 8 - 32 = -24 j: & -[3(-4) - 4(-20)] = -(-12 + 80) = -68 k: & 3(8) - (-2)(-20) = 24 - 40 = -16
Então,
a times 4b = -24 i - 68 j - 16 k

Passo 6

Agora, precisamos calcular o produto escalar u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 .
O produto escalar entre dois vetores e é:

Passo 7

Aplicando aos nossos vetores:
a cdot (a times 4b) = 3(-24) + (-2)(-68) + 4(-16)
Calculando cada termo:
3 times (-24) = -72 -2 times (-68) = 136 4 times (-16) = -64
Somando:
-72 + 136 - 64 = 0

Passo 8

Então, o resultado de é 0.
Agora, vamos para a parte II: encontrar o valor aproximado do cosseno do ângulo entre e .

Passo 9

A fórmula para o cosseno do ângulo cos(theta) = a cdot b|a| |b| entre dois vetores é:
Onde é o produto escalar e e são os módulos dos vetores.

Passo 10

Primeiro, calculamos o produto escalar a cdot b = 3(-5) + (-2)(2) + 4(-1) = -15 -4 -4 = -23 :

Passo 11

Agora, calculamos os módulos de |a| = raiz3^2 + (-2)^2 + 4^2 = raiz9 + 4 + 16 = raiz29 approx 5,385 e |b| = raiz(-5)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz25 + 4 + 1 = raiz30 approx 5,477 :

Passo 12

Agora, aplicamos na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -235,385 times 5,477 approx -2329,478 approx -0,781

Resposta

I.
II. O cosseno do ângulo entre e é aproximadamente

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