Discuta se as questões abaixo são verdadeiras ou falsas, para os itens que julgar falso, encontre um contra-exemplo:
para quaisquer
reais
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado está perguntando se a igualdade
é verdadeira para quaisquer números reais
e
. Estamos lidando com o conteúdo de valor absoluto aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e quando a soma dos valores absolutos é igual ao valor absoluto da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número é a sua distância até zero na reta numérica, ou seja, sempre é um número não negativo:
Agora, vamos analisar a igualdade
. Por acaso, isso sempre é verdadeiro? Vamos pensar em quando a soma
poderá ter o mesmo valor que a soma dos valores absolutos de
e
.
Passo 3
Vamos pensar em dois casos principais:
- Quando
e têm o mesmo sinal: - Se ambos são positivos, então
. - Se ambos são negativos, então
também, porque somar dois negativos dá um número cujo valor absoluto é a soma dos valores absolutos individuais.
- Se ambos são positivos, então
- Quando
e têm sinais diferentes: - Aqui, a soma
pode ser menor que , porque os valores absolutos podem se compensar.
- Aqui, a soma
Passo 4
Vamos verificar com um exemplo onde os sinais de
e
são diferentes para ver se a igualdade ainda vale.
Contra-exemplo:
Escolha e
.
Escolha
Aqui,
, então a igualdade não se mantém.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
e
, onde
e
.