Uma distribuição de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade volumétrica dada por:
onde
. Utilizando os valores
para a constante eletrostática e
para a carga elétrica elementar:
a. Expresse a constante
termos da carga total
da distribuição
determine a ordem de grandeza da densidade de elétrons excedentes em
.
a. Expresse a constante
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma distribuição de carga elétrica que é simétrica em torno de uma esfera, mas a densidade de carga não é uniforme. A densidade é dada por uma função que depende da distância
do centro da esfera. O raio da esfera é
. O problema nos dá a carga total
e quer que calculemos a constante
em termos dessa carga total. Depois, precisamos determinar a ordem de grandeza da densidade de elétrons excedentes em
. Para resolver isso, vamos precisar integrar a densidade de carga sobre o volume da esfera e usar a relação entre carga total e número de elétrons.
Passo 2
Vamos começar encontrando a expressão para a carga total
. A carga total é obtida integrando a densidade de carga
sobre todo o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
. Então, temos:
Substituindo a expressão de
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites de integração:
Simplificando:
Então:
Passo 4
Agora, resolvemos para
:
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores:
Calculando:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a densidade de elétrons excedentes em
. Primeiro, vamos encontrar o número total de elétrons excedentes. Sabemos que cada elétron tem uma carga de
. Então, o número de elétrons
é dado por:
Passo 6
Agora, vamos calcular o volume da esfera para encontrar a densidade de elétrons por volume. O volume
da esfera é:
Convertendo para
(já que
):
Passo 7
Finalmente, a densidade de elétrons excedentes
é:
Resposta
A constante
é aproximadamente
e a densidade de elétrons excedentes é da ordem de
.
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Uma distribuição de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade volumétrica dada por:
onde
. Utilizando os valores
para a constante eletrostática e
para a carga elétrica elementar:
b. Determine a direção, o sentido e a intensidade do campo elétrico nas regiões e
.
b. Determine a direção, o sentido e a intensidade do campo elétrico nas regiões
Considere agora que a esfera da questão 4 seja condutora, e não isolante.
a. Dos resultados do item 4.b, algum muda? Se sim, qual(quais) e por que?
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