Uma distribuição de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade volumétrica dada por:
rho(r)=l rho0(1-rR) forall r <= R 0 forall r >= R
onde R=20 cm. Utilizando os valores 14 pi varepsilon0=9.10^9 Nm^2 / C^2 para a constante eletrostática e e=1,6 cdot 10^-19 C para a carga elétrica elementar:
a. Expresse a constante rho em termos da carga total Q=-6 mu C da distribuição em C / m e determine a ordem de grandeza da densidade de elétrons excedentes em e / mm^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma distribuição de carga elétrica que é simétrica em torno de uma esfera, mas a densidade de carga não é uniforme. A densidade é dada por uma função que depende da distância do centro da esfera. O raio da esfera é . O problema nos dá a carga total e quer que calculemos a constante em termos dessa carga total. Depois, precisamos determinar a ordem de grandeza da densidade de elétrons excedentes em . Para resolver isso, vamos precisar integrar a densidade de carga sobre o volume da esfera e usar a relação entre carga total e número de elétrons.

Passo 2

Vamos começar encontrando a expressão para a carga total Q = integral0^R rho(r) cdot 4pi r^2 dr . A carga total é obtida integrando a densidade de carga Q = integral0^R rho0 (1 - rR) 4pi r^2 dr sobre todo o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é . Então, temos:
Substituindo a expressão de :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Q = 4pi rho0 integral0^R (r^2 - r^3R) dr
Integrando termo a termo:
Q = 4pi rho0 [ r^33 - r^44R ]0^R
Substituindo os limites de integração:
Q = 4pi rho0 ( R^33 - R^44R ) = 4pi rho0 ( R^33 - R^34 )
Simplificando:
Q = 4pi rho0 R^3 ( 13 - 14 ) = 4pi rho0 R^3 ( 4 - 312 ) = 4pi rho0 R^3 ( 112 )
Então:
Q = pi rho0 R^33

Passo 4

Agora, resolvemos para rho0 = 3Qpi R^3 :
rho0 = 3 times (-6 times 10^-6 , C)pi times (0,2 , m)^3 = -18 times 10^-6 , Cpi times 0,008 , m^3 = -18 times 10^-60,0251327 , C/m^3
Sabemos que rho0 approx -0,715 times 10^-3 , C/m^3 = -7,15 times 10^-4 , C/m^3 e . Substituindo esses valores:
Calculando:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a densidade de elétrons excedentes em n = Qe = -6 times 10^-6 , C-1,6 times 10^-19 , C/e^- = 6 times 10^-61,6 times 10^-19 approx 3,75 times 10^13 , elétrons . Primeiro, vamos encontrar o número total de elétrons excedentes. Sabemos que cada elétron tem uma carga de . Então, o número de elétrons é dado por:
é

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume da esfera para encontrar a densidade de elétrons por volume. O volume V = 43 pi R^3 = 43 pi (0,2 , m)^3 approx 0,03351 , m^3 da esfera é:
V approx 0,03351 times 10^9 , mm^3 = 3,351 times 10^7 , mm^3
Convertendo para (já que ):

Passo 7

Finalmente, a densidade de elétrons excedentes eta = nV = 3,75 times 10^13 , elétrons3,351 times 10^7 , mm^3 approx 1,12 times 10^6 , e/mm^3 é:
é

Resposta

A constante é aproximadamente e a densidade de elétrons excedentes é da ordem de .

Exercícios relacionados

Uma distribuição de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade volumétrica dada por:
rho(r)=l rho0(1-rR) forall r <= R 0 forall r >= R
onde R=20 cm. Utilizando os valores 14 pi varepsilon0=9.10^9 Nm^2 / C^2 para a constante eletrostática e e=1,6 cdot 10^-19 C para a carga elétrica elementar:
b. Determine a direção, o sentido e a intensidade do campo elétrico nas regiões r in(0, R) e r in(R, infty).
Considere agora que a esfera da questão 4 seja condutora, e não isolante.
a. Dos resultados do item 4.b, algum muda? Se sim, qual(quais) e por que?
Qual a relação das duas leis universais da Conservação da Massa e da Energia com a Operação Unitária?
O que é Operação Unitária? Quais os tipos existentes? Explique