Uma distribuição de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade volumétrica dada por:
onde . Utilizando os valores para a constante eletrostática e para a carga elétrica elementar:
b. Determine a direção, o sentido e a intensidade do campo elétrico nas regiões e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos uma distribuição de carga que é esfericamente simétrica, mas a densidade de carga não é uniforme. O que precisamos encontrar é a direção, o sentido e a intensidade do campo elétrico em duas regiões diferentes: quando estamos dentro da esfera () e quando estamos fora dela (). Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é fundamental na eletrostática para calcular campos elétricos com simetria específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica . A fórmula é:
Como a distribuição é esfericamente simétrica, podemos escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio , concentrando-se no centro da distribuição de carga.
Passo 3
Vamos considerar a região interna à esfera, onde . Nessa região, a carga dentro da esfera de raio não é simplesmente a carga total, já que a densidade de carga varia com . A densidade volumétrica é dada por:
Para encontrar a carga total dentro de um raio , precisamos integrar a densidade de carga sobre o volume dessa esfera:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Expandindo a expressão dentro da integral:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo :
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos para a região externa à esfera, onde . Nessa região, toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana. Então, a carga total é:
Usando a mesma densidade de carga:
Calculando:
Passo 7
Aplicando novamente a Lei de Gauss para :
Substituindo :
Simplificando:
Resposta
A direção e o sentido do campo elétrico são radialmente para fora (assumindo cargas positivas). A intensidade do campo elétrico é: