Uma distribuição de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade volumétrica dada por:
rho(r)=l rho0(1-rR) forall r <= R 0 forall r >= R
onde R=20 cm. Utilizando os valores 14 pi varepsilon0=9.10^9 Nm^2 / C^2 para a constante eletrostática e e=1,6 cdot 10^-19 C para a carga elétrica elementar:
b. Determine a direção, o sentido e a intensidade do campo elétrico nas regiões r in(0, R) e r in(R, infty).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos uma distribuição de carga que é esfericamente simétrica, mas a densidade de carga não é uniforme. O que precisamos encontrar é a direção, o sentido e a intensidade do campo elétrico em duas regiões diferentes: quando estamos dentro da esfera ( r in (0, R)) e quando estamos fora dela ( r in (R, infty)). Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é fundamental na eletrostática para calcular campos elétricos com simetria específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0. A fórmula é:
oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0
Como a distribuição é esfericamente simétrica, podemos escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio r, concentrando-se no centro da distribuição de carga.

Passo 3

Vamos considerar a região interna à esfera, onde r in (0, R). Nessa região, a carga dentro da esfera de raio r não é simplesmente a carga total, já que a densidade de carga varia com r. A densidade volumétrica é dada por:
rho(r) = rho0(1 - rR)
Para encontrar a carga total dentro de um raio r, precisamos integrar a densidade de carga sobre o volume dessa esfera:
Qdentro = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr'

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
Qdentro = 4pi rho0 integral0^r (1 - r'R) r'^2 dr'
Expandindo a expressão dentro da integral:
Qdentro = 4pi rho0 ( integral0^r r'^2 dr' - 1R integral0^r r'^3 dr' )
Calculando as integrais:
integral0^r r'^2 dr' = r^33
integral0^r r'^3 dr' = r^44
Substituindo de volta:
Qdentro = 4pi rho0 ( r^33 - r^44R )

Passo 5

Agora, aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2 = Qdentrovarepsilon0
Substituindo Qdentro:
E(r) cdot 4pi r^2 = 4pi rho0 ( r^33 - r^44R )varepsilon0
Simplificando:
E(r) = rho0varepsilon0 ( r3 - r^24R )

Passo 6

Agora, vamos para a região externa à esfera, onde r in (R, infty). Nessa região, toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana. Então, a carga total Qtotal é:
Qtotal = integral0^R rho(r') cdot 4pi r'^2 dr'
Usando a mesma densidade de carga:
Qtotal = 4pi rho0 integral0^R (1 - r'R) r'^2 dr'
Calculando:
Qtotal = 4pi rho0 ( R^33 - R^44R ) = 4pi rho0 ( R^33 - R^34 ) = 4pi rho0 ( 4R^3 - 3R^312 ) = 4pi rho0 R^312 = pi rho0 R^33

Passo 7

Aplicando novamente a Lei de Gauss para r > R:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0
Substituindo Qtotal:
E(r) cdot 4pi r^2 = pi rho0 R^33varepsilon0
Simplificando:
E(r) = rho0 R^312 varepsilon0 r^2

Resposta

A direção e o sentido do campo elétrico são radialmente para fora (assumindo cargas positivas). A intensidade do campo elétrico é:
  • Para r in (0, R):
    E(r) = rho0varepsilon0 ( r3 - r^24R )
  • Para r in (R, infty):
    E(r) = rho0 R^312 varepsilon0 r^2

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