Uma distribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de , a distância desde o centro da distribuição. Em outras palavras, . Se for assim, determine o campo elétrico como função de . Integre o resultado para pbter uma expressão para o potencial eletrostático , sujeito à restrição . (ou seja, constante) para e para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma distribuição esférica de carga onde a densidade de carga, , depende apenas da distância do centro. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico em função de e depois integrar esse campo para obter o potencial eletrostático , considerando que . A densidade de carga é constante, , para e para . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga encerrada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
Aqui, é o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada (Gaussiana), é a carga total dentro dessa superfície, e é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos considerar duas situações: quando (dentro da esfera) e quando (fora da esfera).
Para :
A carga encerrada dentro de um raio é:
Usando a simetria esférica, o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana. O fluxo elétrico é então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 4
Para :
A carga total da esfera é:
Novamente, usando a simetria esférica, o fluxo elétrico é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos para ambos os casos, vamos integrar para encontrar o potencial eletrostático . Sabemos que:
Vamos considerar os dois intervalos de separadamente.
Passo 6
Para :
Primeiro, integramos de até , e depois de até .
De a :
De a :
Somando as duas partes:
Passo 7
Para :
A integração é mais direta:
Resposta
O campo elétrico e o potencial eletrostático são dados por: