Uma distribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de
, a distância desde o centro da distribuição. Em outras palavras,
. Se
for assim, determine o campo elétrico como função de
. Integre o resultado para pbter uma expressão para o potencial eletrostático
, sujeito à restrição
.
(ou seja, constante) para
e
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma distribuição esférica de carga onde a densidade de carga,
, depende apenas da distância
do centro. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico
em função de
e depois integrar esse campo para obter o potencial eletrostático
, considerando que
. A densidade de carga é constante,
, para
e
para
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga encerrada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
Aqui,
é o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada (Gaussiana),
é a carga total dentro dessa superfície, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos considerar duas situações: quando
(dentro da esfera) e quando
(fora da esfera).
Para
:
A carga encerrada dentro de um raio
é:
A carga encerrada
Usando a simetria esférica, o campo elétrico
é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana. O fluxo elétrico é então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 4
Para
:
A carga total da esfera é:
A carga total da esfera é:
Novamente, usando a simetria esférica, o fluxo elétrico é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
para ambos os casos, vamos integrar para encontrar o potencial eletrostático
. Sabemos que:
Vamos considerar os dois intervalos de
separadamente.
Passo 6
Para
:
Primeiro, integramos de até
, e depois de
até
.
Primeiro, integramos de
De
a
:
De
a
:
Somando as duas partes:
Passo 7
Para
:
A integração é mais direta:
A integração é mais direta:
Resposta
O campo elétrico
e o potencial eletrostático
são dados por: