Uma distribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de , a distância desde o centro da distribuição. Em outras palavras, . Se for assim, determine o campo elétrico como função de . Integre o resultado para pbter uma expressão para o potencial eletrostático , sujeito à restrição . (ou seja, constante) para e para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma distribuição esférica de carga onde a densidade de carga, , depende apenas da distância do centro. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico em função de e depois integrar esse campo para obter o potencial eletrostático , considerando que . A densidade de carga é constante, , para e para . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga encerrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
Aqui, é o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada (Gaussiana), é a carga total dentro dessa superfície, e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos considerar duas situações: quando (dentro da esfera) e quando (fora da esfera).
Para :
A carga encerrada dentro de um raio é:
Usando a simetria esférica, o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana. O fluxo elétrico é então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:

Passo 4

Para :
A carga total da esfera é:
Novamente, usando a simetria esférica, o fluxo elétrico é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos para ambos os casos, vamos integrar para encontrar o potencial eletrostático . Sabemos que:
Vamos considerar os dois intervalos de separadamente.

Passo 6

Para :
Primeiro, integramos de até , e depois de até .
De a :
De a :
Somando as duas partes:

Passo 7

Para :
A integração é mais direta:

Resposta

O campo elétrico e o potencial eletrostático são dados por:

Exercícios relacionados

Ter conhecimento das normas ortográficas de separação silábica é fundamental, principalmente ao se redigir um texto manuscrito. Diante dessa afirmativa, assinale a alternativa cujas palavras apresentem separação de acordo com a norma culta.
b) O-sso; mú-si-ca; signi-fi-ca-ti-vas.
Determine o potencial eletrostático: No ponto intermediário entre duas cargas de que estão 6 m separadas.
Em relação ao que se afirma a respeito da separação silábica da palavra transatlântico, contida no trecho acima, assinale a alternativa correta.
b) A palavra possui dois encontros consonanais separáveis e dois inseparáveis: transatlântico.
Ter conhecimento das normas ortográficas de separação silábica é fundamental, principalmente ao se redigir um texto manuscrito. Diante dessa afirmativa, assinale a alternativa cujas palavras apresentem separação de acordo com a norma culta.
d) Mon-stros; hedo-nis-tas; so-ci-e-da-de.