Uma distribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de r, a distância desde o centro da distribuição. Em outras palavras, rho=rho(r). Se rho(r) for assim, determine o campo elétrico como função de r. Integre o resultado para pbter uma expressão para o potencial eletrostático varphi(r), sujeito à restrição varphi(infty)=0. rho=rho0 (ou seja, constante) para 0 <= r <= R e rho=0 para r>R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma distribuição esférica de carga onde a densidade de carga, rho, depende apenas da distância r do centro. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico E(r) em função de r e depois integrar esse campo para obter o potencial eletrostático varphi(r), considerando que varphi(infty) = 0. A densidade de carga é constante, rho = rho0, para 0 <= r <= R e rho = 0 para r > R. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga encerrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, oint E cdot dA é o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada (Gaussiana), Qenc é a carga total dentro dessa superfície, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos considerar duas situações: quando r <= R (dentro da esfera) e quando r > R (fora da esfera).
Para r <= R:
A carga encerrada Qenc dentro de um raio r é:
Qenc = rho0 cdot 43pi r^3
Usando a simetria esférica, o campo elétrico E é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana. O fluxo elétrico é então:
oint E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r) cdot 4pi r^2 = rho0 cdot 43pi r^3varepsilon0
Simplificando:
E(r) = rho0 r3 varepsilon0

Passo 4

Para r > R:
A carga total da esfera é:
Qtotal = rho0 cdot 43pi R^3
Novamente, usando a simetria esférica, o fluxo elétrico é:
oint E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0 = rho0 cdot 43pi R^3varepsilon0
Simplificando:
E(r) = rho0 R^33 varepsilon0 r^2

Passo 5

Agora que temos E(r) para ambos os casos, vamos integrar para encontrar o potencial eletrostático varphi(r). Sabemos que:
varphi(r) = -integralinfty^r E cdot dl
Vamos considerar os dois intervalos de r separadamente.

Passo 6

Para r <= R:
Primeiro, integramos de infty até R, e depois de R até r.
De infty a R:
varphi1 = -integralinfty^R rho0 R^33 varepsilon0 r'^2 dr' = -[ -rho0 R^33 varepsilon0 r' ]infty^R = rho0 R^23 varepsilon0
De R a r:
varphi2 = -integralR^r rho0 r'3 varepsilon0 dr' = -[ rho0 r'^26 varepsilon0 ]R^r = -rho0 (r^2 - R^2)6 varepsilon0
Somando as duas partes:
varphi(r) = rho0 R^23 varepsilon0 - rho0 r^26 varepsilon0 + rho0 R^26 varepsilon0 = rho0 (2R^2 - r^2)6 varepsilon0 = rho0 (R^2 - r^22)3 varepsilon0

Passo 7

Para r > R:
A integração é mais direta:
varphi(r) = -integralinfty^r rho0 R^33 varepsilon0 r'^2 dr' = -[ -rho0 R^33 varepsilon0 r' ]infty^r = rho0 R^33 varepsilon0 r

Resposta

O campo elétrico E(r) e o potencial eletrostático varphi(r) são dados por:
E(r) = rho0 r3 varepsilon0, & para r <= R rho0 R^33 varepsilon0 r^2, & para r > R
varphi(r) = rho03 varepsilon0 ( R^2 - r^22 ), & para r <= R rho0 R^33 varepsilon0 r, & para r > R

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