A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por:
Onde h é a distância entre as duas placas; a origem é colocada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a , com velocidade máxima de e . Calcule a tensão cisalhante na placa superior.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o problema. Temos um escoamento laminar de água entre duas placas paralelas, onde a velocidade varia de acordo com a posição entre as placas. Conhecemos a velocidade máxima (), a distância entre as placas () e a temperatura da água (). Nosso objetivo é calcular a tensão cisalhante na placa superior.
Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre a velocidade do fluido e a tensão cisalhante, utilizar a derivada da função de velocidade para encontrar o gradiente de velocidade, e conhecer a viscosidade dinâmica da água a .
Passo 2
A equação da distribuição de velocidade fornecida é:
Podemos reescrever isso para encontrar a velocidade em função de :
Passo 3
Para encontrar a tensão cisalhante () na placa superior, precisamos calcular o gradiente de velocidade () na posição da placa. A tensão cisalhante é dada por:
Onde:
é a viscosidade dinâmica da água.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de em relação a :
Passo 5
Na placa superior, a posição é igual a (já que a origem está na linha mediana). Substituindo na derivada:
A direção negativa indica que a velocidade está diminuindo à medida que nos movemos em direção à placa superior.
Passo 6
Agora, precisamos da viscosidade dinâmica da água a . Sabemos que:
Passo 7
Finalmente, substituímos os valores na fórmula da tensão cisalhante:
Calculando:
Como a tensão cisalhante é uma grandeza escalar, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A tensão cisalhante na placa superior é de aproximadamente .