A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por:
uumax =1-(2 yh)^2
Onde h é a distância entre as duas placas; a origem é colocada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a 15^circ C, com velocidade máxima de 0,05 m / s e h=0,5 mm. Calcule a tensão cisalhante na placa superior.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o problema. Temos um escoamento laminar de água entre duas placas paralelas, onde a velocidade varia de acordo com a posição entre as placas. Conhecemos a velocidade máxima ( ), a distância entre as placas ( ) e a temperatura da água ( ). Nosso objetivo é calcular a tensão cisalhante na placa superior.
Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre a velocidade do fluido e a tensão cisalhante, utilizar a derivada da função de velocidade para encontrar o gradiente de velocidade, e conhecer a viscosidade dinâmica da água a .

Passo 2

A equação da distribuição de velocidade fornecida é:
uumax = 1 - ( 2yh )^2
Podemos reescrever isso para encontrar a velocidade u = umax ( 1 - ( 2yh )^2 ) = umax ( 1 - 4y^2h^2 ) em função de :

Passo 3

Para encontrar a tensão cisalhante ( tau = mu dudy ) na placa superior, precisamos calcular o gradiente de velocidade ( ) na posição da placa. A tensão cisalhante é dada por:
Onde:
  • é a viscosidade dinâmica da água.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de dudy = ddy [ umax ( 1 - 4y^2h^2 ) ] = umax ( -8yh^2 ) = -8umax yh^2 em relação a :

Passo 5

Na placa superior, a posição dudyg|y = h2 = -8umax ( h2 )h^2 = -4umaxh é igual a (já que a origem está na linha mediana). Substituindo na derivada:
A direção negativa indica que a velocidade está diminuindo à medida que nos movemos em direção à placa superior.

Passo 6

Agora, precisamos da viscosidade dinâmica da água a mu = 1,14 times 10^-3 , Pa cdot s . Sabemos que:

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores na fórmula da tensão cisalhante:
tau = mu dudyg|y = h2 = 1,14 times 10^-3 , Pa cdot s times ( -4 times 0,05 , m/s0,0005 , m )
Calculando:
tau = 1,14 times 10^-3 times ( -400 , s^-1 cdot m/s ) = -0,456 , Pa
Como a tensão cisalhante é uma grandeza escalar, consideramos o valor absoluto:
tau = 0,456 , Pa

Resposta

A tensão cisalhante na placa superior é de aproximadamente .

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