Diz vagas de um estacionamento serão ocupadas por seis carros, sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco. Considerando que uma maneira de isso ocorrer se distingue de outra tão somente pela cor dos carros, o total de possibilidades de os seis carros ocuparem as dez vagas é igual a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de combinatória! O enunciado fala sobre como 6 carros de cores diferentes (3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco) vão ocupar 10 vagas de estacionamento. A gente precisa descobrir de quantas maneiras isso pode acontecer, levando em conta que só importa a cor dos carros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação e arranjo.

Passo 2

Primeiro, vamos selecionar quais 6 das 10 vagas serão ocupadas pelos carros. Isso é uma combinação, pois a ordem não importa nessa seleção. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Aqui, $ n = 10 $ vagas e $ k = 6 $ carros, então:
n = 10

Passo 3

Agora que escolhemos quais vagas serão ocupadas, precisamos distribuir os 6 carros nessas vagas selecionadas. Como temos carros de cores repetidas (3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco), usamos o arranjo com repetição. A fórmula para isso é:
n!n1! times n2! times dots times nk!
Aqui, $ n = 6 $ carros, com $ n_1 = 3 $ pretos, $ n_2 = 2 $ vermelhos e $ n_3 = 1 $ branco. Então:
n = 6

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando $ C(10, 6) $:
C(10, 6)
  1. Calculando o arranjo dos carros:
C(10, 6) = 10!6! times 4! = 10 times 9 times 8 times 74 times 3 times 2 times 1 = 210

Passo 5

Para achar o total de maneiras, multiplicamos o número de maneiras de escolher as vagas pelo número de maneiras de distribuir os carros nas vagas escolhidas:
210 times 60 = 12.600

Resposta

O total de possibilidades é 12.600 maneiras.

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