Dois carros, um dirigindo-se para leste com velocidade de
, o outro dirigindo-se para sul com velocidade de
, estão viajando em direção ao encontro das rodovias. A que velocidade os carros se aproximam um do outro, no momento em que o primeiro carro está a 400 m e o segundo está a 300 m da interseção das rodovias?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros:
- Carro A está indo para o leste com velocidade de
e está a 400 metros da interseção. - Carro B está indo para o sul com velocidade de
e está a 300 metros da interseção.
Queremos descobrir a que velocidade os carros estão se aproximando um do outro no exato momento em que as distâncias são essas. Vamos usar conceitos de taxas relacionadas e distância entre dois pontos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as velocidades de km/h para m/s, pois as distâncias estão em metros e é mais fácil trabalhar com unidades consistentes.
Sabemos que:
Então:
Passo 3
Agora, vamos representar a posição dos carros em relação à interseção das rodovias. Vamos usar o eixo
para o leste e o eixo
para o sul.
- A posição do Carro A:
- A posição do Carro B:
Aqui,
é o tempo em segundos.
Passo 4
A distância
entre os dois carros a qualquer instante
pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Substituindo as posições:
Passo 5
Como queremos saber a taxa de aproximação dos carros, precisamos calcular a derivada da distância
em relação ao tempo
, ou seja,
.
Usando a regra da derivada para funções compostas:
Passo 6
Vamos calcular
no instante específico em que
(o momento em que as distâncias são 400 m e 300 m).
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos
,
,
e
:
Resposta
Os carros estão se aproximando um do outro a uma velocidade de aproximadamente
.