Dois carros, um dirigindo-se para leste com velocidade de 80 km / h, o outro dirigindo-se para sul com velocidade de 50 km / h, estão viajando em direção ao encontro das rodovias. A que velocidade os carros se aproximam um do outro, no momento em que o primeiro carro está a 400 m e o segundo está a 300 m da interseção das rodovias?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros:
  • Carro A está indo para o leste com velocidade de e está a 400 metros da interseção.
  • Carro B está indo para o sul com velocidade de e está a 300 metros da interseção.
Queremos descobrir a que velocidade os carros estão se aproximando um do outro no exato momento em que as distâncias são essas. Vamos usar conceitos de taxas relacionadas e distância entre dois pontos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as velocidades de km/h para m/s, pois as distâncias estão em metros e é mais fácil trabalhar com unidades consistentes.
Sabemos que:
1 , km/h = 1000 , m3600 , s approx 0,2778 , m/s
Então:
80 , km/h = 80 times 0,2778 approx 22,22 , m/s
50 , km/h = 50 times 0,2778 approx 13,89 , m/s

Passo 3

Agora, vamos representar a posição dos carros em relação à interseção das rodovias. Vamos usar o eixo para o leste e o eixo para o sul.
  • A posição do Carro A:
  • A posição do Carro B:
Aqui, é o tempo em segundos.

Passo 4

A distância D(t) = raizx(t)^2 + y(t)^2 entre os dois carros a qualquer instante D(t) = raiz(400 - 22,22t)^2 + (300 - 13,89t)^2 pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Substituindo as posições:

Passo 5

Como queremos saber a taxa de aproximação dos carros, precisamos calcular a derivada da distância dDdt = x(t) cdot dxdt + y(t) cdot dydtD(t) em relação ao tempo , ou seja, .
Usando a regra da derivada para funções compostas:

Passo 6

Vamos calcular D(0) = raiz400^2 + 300^2 = raiz160000 + 90000 = raiz250000 = 500 , m no instante específico em que dDdt = 400 times (-22,22) + 300 times (-13,89)500 (o momento em que as distâncias são 400 m e 300 m).
Primeiro, calculamos dDdt = -8888 + (-4167)500 = -13055500 = -26,11 , m/s :
Agora, substituímos , , e :

Resposta

Os carros estão se aproximando um do outro a uma velocidade de aproximadamente .

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