Dois projéteis são lançados ao mesmo tempo do solo. O primeiro com velocidade inicial de módulo
e inclinação
com relação à horizontal e o segundo com velocidade inicial de módulo
e inclinação
com relação à horizontal. Despreze a resistência do ar. Se
e
qual das afirmativas abaixo é verdadeira? Considere
e
os tempos que os projéteis levam para retornar ao solo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois projéteis sendo lançados do chão ao mesmo tempo. O primeiro projétil tem uma velocidade inicial de módulo $ v_1 $ e é lançado com um ângulo de $ 30^\circ $ em relação à horizontal. O segundo projétil tem velocidade inicial de módulo $ v_2 $ e é lançado com um ângulo de $ 45^\circ $. A gente está desconsiderando a resistência do ar, o que facilita nosso trabalho. Além disso, sabe-se que as componentes horizontais das velocidades são iguais, ou seja, $ v_{1x} = v_{2x} $. Queremos descobrir qual das afirmações sobre os tempos de voo $ t_{A1} $ e $ t_{A2} $ está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a componente horizontal da velocidade. Para qualquer projétil lançado com velocidade $ v $ e ângulo $ \theta $, a componente horizontal é dada por:
Segundo a questão, $ v_{1x} = v_{2x} $. Então:
Sabendo que $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, substituindo:
Podemos simplificar os $ \frac{1}{2} $ de ambos os lados:
Isolando $ v_2 $:
Então, $ v_2 $ é aproximadamente 1,2247 vezes $ v_1 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o tempo de voo de cada projétil. A fórmula para o tempo total de voo de um projétil lançado e retornando ao solo é:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $).
Para o primeiro projétil:
Sabendo que $ \sin(30^\circ) = 0,5 $:
Para o segundo projétil:
Sabendo que $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
Substituindo $ v_2 = v_1 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} $:
Então:
Resposta
O segundo projétil leva aproximadamente 1,732 vezes mais tempo para retornar ao solo que o primeiro, ou seja, $ t_{A2} > t_{A1} $.