Dois projéteis são lançados ao mesmo tempo do solo. O primeiro com velocidade inicial de módulo v1 e inclinação theta1 com relação à horizontal e o segundo com velocidade inicial de módulo v2 e inclinação theta2 com relação à horizontal. Despreze a resistência do ar. Se theta1=30^circ, theta2=45^circ e v1 x=v2 x qual das afirmativas abaixo é verdadeira? Considere tA 1 e tA 2 os tempos que os projéteis levam para retornar ao solo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois projéteis sendo lançados do chão ao mesmo tempo. O primeiro projétil tem uma velocidade inicial de módulo $ v_1 $ e é lançado com um ângulo de $ 30^\circ $ em relação à horizontal. O segundo projétil tem velocidade inicial de módulo $ v_2 $ e é lançado com um ângulo de $ 45^\circ $. A gente está desconsiderando a resistência do ar, o que facilita nosso trabalho. Além disso, sabe-se que as componentes horizontais das velocidades são iguais, ou seja, $ v_{1x} = v_{2x} $. Queremos descobrir qual das afirmações sobre os tempos de voo $ t_{A1} $ e $ t_{A2} $ está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a componente horizontal da velocidade. Para qualquer projétil lançado com velocidade $ v $ e ângulo $ \theta $, a componente horizontal é dada por:
v
Segundo a questão, $ v_{1x} = v_{2x} $. Então:
theta
Sabendo que $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, substituindo:
vx = v cdot cos(theta)
Podemos simplificar os $ \frac{1}{2} $ de ambos os lados:
v1x = v2x
Isolando $ v_2 $:
v1 cdot cos(30^circ) = v2 cdot cos(45^circ)
Então, $ v_2 $ é aproximadamente 1,2247 vezes $ v_1 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo de voo de cada projétil. A fórmula para o tempo total de voo de um projétil lançado e retornando ao solo é:
tA = 2 cdot v0 cdot sin(theta)g
onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $).
Para o primeiro projétil:
g
Sabendo que $ \sin(30^\circ) = 0,5 $:
approx 9,8 , m/s^2
Para o segundo projétil:
tA1 = 2 cdot v1 cdot sin(30^circ)g
Sabendo que $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
sin(30^circ) = 0,5
Substituindo $ v_2 = v_1 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} $:
tA1 = 2 cdot v1 cdot 0,5g = v1g
Então:
tA2 = 2 cdot v2 cdot sin(45^circ)g

Resposta

O segundo projétil leva aproximadamente 1,732 vezes mais tempo para retornar ao solo que o primeiro, ou seja, $ t_{A2} > t_{A1} $.

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