Dois cilindros longos formam um cabo coaxial. O cilindro interno é um corpo maciço de raio a e densidade volumétrica de carga rho. O cilindro externo possui raio interno b, raio externo c e está carregado com uma densidade uniforme de carga -rho. Determine o vetor campo elétrico para (a) 0 <= r <= a, (b) a <= r <= b, © b <= r <= c, (d) r >= c. Esboce o gráfico do campo elétrico em função do raio.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois cilindros que formam um cabo coaxial:
  • Cilindro Interno: É maciço, com raio e uma densidade volumétrica de carga .
  • Cilindro Externo: Tem um raio interno , raio externo , e está carregado com uma densidade de carga uniforme de .
Nosso objetivo é determinar o vetor campo elétrico em quatro regiões diferentes de acordo com o raio :
a)
b)
c)
d)
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetrias específicas, como a simetria cilíndrica desses cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss, que nos diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, é a carga total dentro da superfície gaussiana e é a constante de permissividade do vácuo.
Como estamos lidando com cilindros, vamos escolher superfícies gaussianas cilíndricas de raio e comprimento , alinhadas com os cilindros dados. Devido à simetria, o campo elétrico será radial e terá a mesma magnitude em qualquer ponto a uma distância do eixo.

Passo 3

Vamos calcular Qenc = rho cdot Volume = rho cdot pi r^2 L para cada região:

a) E cdot 2pi r L = rho pi r^2 Lvarepsilon0

Nesta região, estamos dentro do cilindro interno. Vamos calcular a carga E = rho r2 varepsilon0 dentro do raio Qenc = rho cdot pi a^2 L :
A densidade volumétrica de carga é E cdot 2pi r L = rho pi a^2 Lvarepsilon0 , então:
E = rho a^22 varepsilon0 r
Aplicando a Lei de Gauss:
Qenc = rho pi a^2 L - rho pi (r^2 - b^2) L = rho pi (a^2 - r^2 + b^2) L
Resolvendo para E cdot 2pi r L = rho pi (a^2 - r^2 + b^2) Lvarepsilon0 :
E = rho (a^2 + b^2 - r^2)2 varepsilon0 r

b) Qenc = rho pi a^2 L - rho pi (c^2 - b^2) L = rho pi (a^2 + b^2 - c^2) L

Aqui, estamos entre o cilindro interno e o início do cilindro externo. Apenas o cilindro interno contribui para a carga interna (já que o externo começa em E cdot 2pi r L = rho pi (a^2 + b^2 - c^2) Lvarepsilon0 ).
A carga dentro do raio E = rho (a^2 + b^2 - c^2)2 varepsilon0 r ainda é apenas do cilindro interno:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

c)

Agora, estamos no cilindro externo. Precisamos considerar tanto o cilindro interno quanto a carga do cilindro externo até o raio .
A carga do cilindro interno é , e a carga do cilindro externo até é .
Então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

d)

Finalmente, estamos fora de ambos os cilindros. A carga total é a soma das cargas dos dois cilindros.
A carga do cilindro interno é , e a carga total do cilindro externo é .
Então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Resposta

Resumindo, o vetor campo elétrico E = rho r2 varepsilon0 para cada região é:
a) Para E = rho a^22 varepsilon0 r :
E = rho (a^2 + b^2 - r^2)2 varepsilon0 r
b) Para E = rho (a^2 + b^2 - c^2)2 varepsilon0 r :
c) Para :
d) Para :
Além disso, o gráfico do campo elétrico em função do raio apresentará diferentes comportamentos em cada uma dessas regiões, refletindo as expressões acima.

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