Dois cilindros longos formam um cabo coaxial. O cilindro interno é um corpo maciço de raio
e densidade volumétrica de carga
. O cilindro externo possui raio interno
, raio externo
e está carregado com uma densidade uniforme de carga
. Determine o vetor campo elétrico para (a)
, (b)
, ©
, (d)
. Esboce o gráfico do campo elétrico em função do raio.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois cilindros que formam um cabo coaxial:
- Cilindro Interno: É maciço, com raio
e uma densidade volumétrica de carga . - Cilindro Externo: Tem um raio interno
, raio externo , e está carregado com uma densidade de carga uniforme de .
Nosso objetivo é determinar o vetor campo elétrico
em quatro regiões diferentes de acordo com o raio
:
a)
b)
c)
d)
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetrias específicas, como a simetria cilíndrica desses cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss, que nos diz que:
Aqui,
é a carga total dentro da superfície gaussiana e
é a constante de permissividade do vácuo.
Como estamos lidando com cilindros, vamos escolher superfícies gaussianas cilíndricas de raio
e comprimento
, alinhadas com os cilindros dados. Devido à simetria, o campo elétrico
será radial e terá a mesma magnitude em qualquer ponto a uma distância
do eixo.
Passo 3
Vamos calcular
para cada região:
a)
Nesta região, estamos dentro do cilindro interno. Vamos calcular a carga
dentro do raio
:
A densidade volumétrica de carga é
, então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
b)
Aqui, estamos entre o cilindro interno e o início do cilindro externo. Apenas o cilindro interno contribui para a carga interna (já que o externo começa em
).
A carga dentro do raio
ainda é apenas do cilindro interno:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
c)
Agora, estamos no cilindro externo. Precisamos considerar tanto o cilindro interno quanto a carga do cilindro externo até o raio
.
A carga do cilindro interno é
, e a carga do cilindro externo até
é
.
Então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
d)
Finalmente, estamos fora de ambos os cilindros. A carga total é a soma das cargas dos dois cilindros.
A carga do cilindro interno é
, e a carga total do cilindro externo é
.
Então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Resposta
Resumindo, o vetor campo elétrico
para cada região é:
a) Para
:
b) Para
:
c) Para
:
d) Para
:
Além disso, o gráfico do campo elétrico em função do raio
apresentará diferentes comportamentos em cada uma dessas regiões, refletindo as expressões acima.