Dois dados equilibrados são lançados.
c) Os eventos seis em pelo menos um dado e faces diferentes nos dois dados sāo independentes?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde lançamos dois dados equilibrados e precisamos verificar se dois eventos são independentes:
  1. Obter um seis em pelo menos um dos dados.
  2. Obter faces diferentes nos dois dados.
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades de eventos independentes e calcular as probabilidades de cada evento e a probabilidade de ambos acontecerem ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade do primeiro evento: obter um seis em pelo menos um dado.
É mais fácil calcular o contrário, ou seja, a probabilidade de não obter nenhum seis nos dois dados.
  • A probabilidade de um dado não mostrar seis é 56.
  • Como os dados são independentes, a probabilidade de ambos não mostrarem seis é 56 times 56 = 2536.
Portanto, a probabilidade de pelo menos um seis é:
1 - 2536 = 1136

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: obter faces diferentes nos dois dados.
  • 6 times 6 = 36 combinações possíveis ao lançar dois dados.
  • Para que as faces sejam diferentes:
    • O primeiro dado pode mostrar qualquer número (6 opções).
    • O segundo dado deve mostrar um número diferente do primeiro (5 opções).
Então, há 6 times 5 = 30 resultados favoráveis.
A probabilidade, então, é:
3036 = 56

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de ambos os eventos acontecerem ao mesmo tempo: obter pelo menos um seis e faces diferentes nos dois dados.
Vamos pensar nas situações que satisfazem ambos:
  1. Primeiro dado é seis e o segundo dado é diferente de seis.
    • 1 opção para o primeiro dado (seis).
    • 5 opções para o segundo dado (qualquer número exceto seis).
  2. Segundo dado é seis e o primeiro dado é diferente de seis.
    • 5 opções para o primeiro dado.
    • 1 opção para o segundo dado (seis).
Total de resultados favoráveis: 5 + 5 = 10
Então, a probabilidade é:
1036 = 518

Passo 5

Para verificar se os dois eventos são independentes, usamos a seguinte condição:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Onde:
  • P(A cap B) é a probabilidade de ambos os eventos acontecerem juntos.
  • P(A) é a probabilidade do primeiro evento.
  • P(B) é a probabilidade do segundo evento.
Substituindo os valores que calculamos:
518 stackrel?= 1136 times 56 = 55216
Vamos converter 518 para ter o mesmo denominador:
518 = 60216
Comparando:
60216 neq 55216
Como os dois valores não são iguais, os eventos não são independentes.

Resposta

Não, os eventos “seis em pelo menos um dado” e “faces diferentes nos dois dados” não são independentes.

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