Dois dados equilibrados são lançados.
c) Os eventos seis em pelo menos um dado e faces diferentes nos dois dados sāo independentes?
c) Os eventos seis em pelo menos um dado e faces diferentes nos dois dados sāo independentes?
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde lançamos dois dados equilibrados e precisamos verificar se dois eventos são independentes:
- Obter um seis em pelo menos um dos dados.
- Obter faces diferentes nos dois dados.
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades de eventos independentes e calcular as probabilidades de cada evento e a probabilidade de ambos acontecerem ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade do primeiro evento: obter um seis em pelo menos um dado.
É mais fácil calcular o contrário, ou seja, a probabilidade de não obter nenhum seis nos dois dados.
- A probabilidade de um dado não mostrar seis é
. - Como os dados são independentes, a probabilidade de ambos não mostrarem seis é
.
Portanto, a probabilidade de pelo menos um seis é:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: obter faces diferentes nos dois dados.
- Há
combinações possíveis ao lançar dois dados. - Para que as faces sejam diferentes:
- O primeiro dado pode mostrar qualquer número (6 opções).
- O segundo dado deve mostrar um número diferente do primeiro (5 opções).
Então, há
resultados favoráveis.
A probabilidade, então, é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de ambos os eventos acontecerem ao mesmo tempo: obter pelo menos um seis e faces diferentes nos dois dados.
Vamos pensar nas situações que satisfazem ambos:
-
Primeiro dado é seis e o segundo dado é diferente de seis.
- 1 opção para o primeiro dado (seis).
- 5 opções para o segundo dado (qualquer número exceto seis).
-
Segundo dado é seis e o primeiro dado é diferente de seis.
- 5 opções para o primeiro dado.
- 1 opção para o segundo dado (seis).
Total de resultados favoráveis:
Então, a probabilidade é:
Passo 5
Para verificar se os dois eventos são independentes, usamos a seguinte condição:
Onde:
-
é a probabilidade de ambos os eventos acontecerem juntos. -
é a probabilidade do primeiro evento. -
é a probabilidade do segundo evento.
Substituindo os valores que calculamos:
Vamos converter
para ter o mesmo denominador:
Comparando:
Como os dois valores não são iguais, os eventos não são independentes.
Resposta
Não, os eventos “seis em pelo menos um dado” e “faces diferentes nos dois dados” não são independentes.