Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas brancas, três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que: b) ambas sejam vermelhas;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. A questão é sobre retirar duas bolas de uma urna que tem bolas de três cores diferentes: brancas, pretas e vermelhas. Especificamente, queremos saber qual a chance de ambas as bolas retiradas serem vermelhas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades sem reposição e usar combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos ver quantas bolas temos no total na urna. Temos:
  • 2 bolas brancas
  • 3 bolas pretas
  • 5 bolas vermelhas
Então, o total de bolas é:
2 + 3 + 5 = 10 bolas

Passo 3

Agora, queremos saber quantas maneiras diferentes podemos retirar 2 bolas vermelhas das 5 disponíveis. Para isso, usamos as combinações, que nos dizem quantas formas podemos escolher um grupo sem se importar com a ordem. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde:
  • C(5, 2) = 5!2!(5 - 2)! = 5 times 42 times 1 = 10 é o total de itens,
  • é o número de itens que queremos escolher,
  • representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Então, o número de maneiras de escolher 2 bolas vermelhas é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o total de maneiras de retirar qualquer 2 bolas das 10 disponíveis:
C(10, 2) = 10!2!(10 - 2)! = 10 times 92 times 1 = 45

Passo 5

A probabilidade de ambos os eventos ocorrerem (ou seja, retirar duas bolas vermelhas) é a razão entre o número de maneiras de retirar duas bolas vermelhas e o número total de maneiras de retirar quaisquer duas bolas. Então:
P(ambas vermelhas) = C(5, 2)C(10, 2) = 1045

Resposta

A probabilidade de retirar ambas as bolas vermelhas é:
1045 = 29
Ou aproximadamente 22,22%.

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