Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de 10 %. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter: d) No mínimo duas peças defeituosas?

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade relacionado à qualidade de uma linha de produção. A questão nos pergunta qual é a probabilidade de, ao inspecionar 10 peças, obter pelo menos duas defeituosas, sabendo que a probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 10%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que é adequada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (sucesso ou falha).

Passo 2

Primeiro, entendamos o que é uma distribuição binomial. Ela é usada para calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa é independente e tem a mesma probabilidade de sucesso. A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
onde:
  • é a probabilidade de obter exatamente sucessos,
  • é a combinação de elementos tomados de cada vez,
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa,
  • é o número total de tentativas.

Passo 3

No nosso caso, queremos a probabilidade de no mínimo duas peças serem defeituosas. Isso significa que podemos ter 2, 3, …, até 10 peças defeituosas. Porém, calcular a probabilidade para cada uma dessas situações e somá-las pode ser trabalhoso. Uma maneira mais fácil é calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de menos de duas peças serem defeituosas (ou seja, nenhuma ou apenas uma), e então subtrair esse valor de 1.

Passo 4

Calculando a probabilidade de nenhuma peça ser defeituosa ( P(0) = C(10, 0) times (0,10)^0 times (0,90)^10 = 1 times 1 times 0,90^10 approx 0,3487 ):
P(1) = C(10, 1) times (0,10)^1 times (0,90)^9 = 10 times 0,10 times 0,90^9 approx 0,3874
Calculando a probabilidade de uma peça ser defeituosa ( ):

Passo 5

Agora, somamos essas duas probabilidades para obter a probabilidade de menos de duas peças serem defeituosas:
P(menos de duas) = P(0) + P(1) approx 0,3487 + 0,3874 = 0,7361
Para encontrar a probabilidade de no mínimo duas peças serem defeituosas, subtraímos esse valor de 1:
P(no mínimo duas) = 1 - P(menos de duas) approx 1 - 0,7361 = 0,2639 í

Resposta

A probabilidade de obter no mínimo duas peças defeituosas em uma amostra de 10 peças é de aproximadamente 26,39%.

Exercícios relacionados