Duas cargas puntiformes
são colocadas sobre o eixo
, uma no ponto
e outra no ponto
. Determine o campo elétrico (a componente
) em qualquer ponto sobre o eixo
. Para facilitar divida a sua análise em três regiões: (a)
; (b)
; ©
. (d) Faça um gráfico do campo elétrico em função de
englobando essas três regiões.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas cargas pontuais, ambas com carga $ q $, colocadas no eixo $ Ox $, uma em $ x = a $ e outra em $ x = -a $. Nosso objetivo é determinar o campo elétrico na direção $ x $ em qualquer ponto desse eixo. Para facilitar, vamos dividir o nosso estudo em três regiões: (a) $ x < -a $; (b) $ -a < x < a $; e © $ x > a $. Além disso, vamos desenhar um gráfico do campo elétrico em função de $ x $ que abrange essas três regiões.
Passo 2
Antes de mais nada, precisamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma carga pontual. A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico $ E $ devido a uma carga $ q $ em um ponto a uma distância $ r $ é dado por:
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $).
Passo 3
Vamos analisar cada região separadamente.
Região (a): $ x < -a $
Aqui, estamos à esquerda de ambas as cargas. Vamos calcular o campo elétrico no ponto $ x $:
-
Campo devido à carga em $ x = -a $:
- A distância entre o ponto $ x $ e a carga em $ x = -a $ é $ r_1 = |x - (-a)| = |x + a| $.
- O campo aponta para a direita (positiva) se a carga for positiva, pois as cargas iguais se repelem.
-
Campo devido à carga em $ x = a $:
- A distância é $ r_2 = |x - a| $.
- O campo também aponta para a direita, já que a carga em $ x = a $ está à direita do ponto $ x < -a $.
-
Campo total na direção $ x $:
- Somamos os dois campos:
Região (b): $ -a < x < a $
Agora, estamos entre as duas cargas.
-
Campo devido à carga em $ x = -a $:
- Distância: $ r_1 = |x + a| $.
- O campo aponta para a direita (positiva).
-
Campo devido à carga em $ x = a $:
- Distância: $ r_2 = |x - a| $.
- O campo aponta para a esquerda (negativa), já que estamos à esquerda da carga $ x = a $.
-
Campo total na direção $ x $:
- Subtraímos o segundo campo do primeiro:
Região ©: $ x > a $
Estamos à direita de ambas as cargas.
-
Campo devido à carga em $ x = -a $:
- Distância: $ r_1 = |x + a| $.
- O campo aponta para a esquerda (negativa), já que a carga está à esquerda.
-
Campo devido à carga em $ x = a $:
- Distância: $ r_2 = |x - a| $.
- O campo também aponta para a esquerda.
-
Campo total na direção $ x $:
- Somamos os dois campos, ambos negativos:
Passo 4
Agora que já temos as expressões para o campo elétrico em cada região, é hora de desenhar o gráfico de $ E $ em função de $ x $.
- Para $ x < -a $: O campo é positivo e diminui à medida que nos afastamos das cargas.
- Para $ -a < x < a $: O campo pode aumentar ou diminuir dependendo da posição, já que estamos entre as cargas que repelem.
- Para $ x > a $: O campo é negativo e também diminui em magnitude conforme nos afastamos.
O gráfico terá assim:
- Região $ x < -a $: Campo positivo decrescendo.
- Região $ -a < x < a $: Campo varia conforme $ x $, podendo ter pontos de inflexão.
- Região $ x > a $: Campo negativo decrescendo em magnitude.
Resposta
O campo elétrico na direção $ x $ para cada região é dado por:
E o gráfico do campo elétrico em função de $ x $ apresenta valores positivos para $ x < -a $, varia entre positivo e negativo para $ -a < x < a $, e valores negativos para $ x > a $, refletindo a contribuição das duas cargas em cada região.