Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas, se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0,108 N quando a distância entre os centros é 50,0 cm. As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de 0,0360 N. Supondo que a carga total das esferas fosse inicialmente positiva, determine:
(a) a carga negativa inicial de uma das esferas;
(b) a carga positiva inicial da outra esfera.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão envolve força eletrostática entre duas esferas condutoras. A gente vai usar conceitos de Lei de Coulomb e distribuição de cargas em condutores. Precisamos entender como as cargas se comportam quando as esferas estão separadas e quando estão conectadas por um fio. Vamos resolver passo a passo para descobrir as cargas iniciais nas esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas. A fórmula é:
F = k |q1 cdot q2|r^2
Onde:
  • $ F $ é a força eletrostática entre as cargas,
  • $ k $ é a constante de Coulomb ($ 8,988 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $),
  • $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas,
  • $ r $ é a distância entre as cargas.

Passo 3

Vamos analisar a primeira situação: as esferas estão separadas por 50,0 cm e se atraem com uma força de 0,108 N. Isso significa que uma esfera tem carga positiva e a outra negativa, já que cargas opostas se atraem.
Vamos converter a distância para metros:
r = 50,0 , cm = 0,5 , m

Passo 4

Usando a Lei de Coulomb, temos:
0,108 = k |q1 cdot q2|(0,5)^2
Como $ k = 8,988 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $, podemos reorganizar a equação para encontrar o produto $ q_1 \cdot q_2 $:
k = 8,988 times 10^9 , N m^2/C^2
Calculando isso:
q1 cdot q2

Passo 5

Agora, quando as esferas estão conectadas por um fio condutor, as cargas se redistribuem igualmente porque as esferas são iguais. Vamos chamar a carga total de $ Q $. Após a conexão, cada esfera terá metade da carga total:
Q
Quando o fio é removido, as esferas têm a mesma carga $ \frac{Q}{2} $ e se repelem com uma força de 0,0360 N.

Passo 6

Aplicando novamente a Lei de Coulomb para a repulsão:
0,0360 = k (Q2)^2(0,5)^2
Vamos resolver para $ Q $:
Q
Então:
0,0360 = 8,988 times 10^9 Q^24 times 0,25 = 8,988 times 10^9 Q^21
Tomando a raiz quadrada:
Q^2 = 0,03608,988 times 10^9 approx 4,005 times 10^-12 , C^2

Passo 7

Sabendo que a carga total $ Q $ é distribuída igualmente, cada esfera após a conexão tem:
Q

Passo 8

Voltando à situação inicial, antes de conectar o fio, a carga total das esferas era positiva e igual a $ Q $. Mas inicialmente, uma esfera tinha carga negativa e a outra positiva. Vamos chamar a carga negativa de $ -q $ e a positiva de $ Q - q $ para que a carga total seja $ Q $.
Usando o produto das cargas que encontramos:
Q
Substituindo $ Q = 6,33 \times 10^{-6} , C $:
-q
Assumindo que $ q $ é muito menor que $ Q $, podemos simplificar:
Q - q
Então:
Q

Resposta

(a) A carga negativa inicial de uma das esferas é aproximadamente $ -4,74 \times 10^{-7} , C $.
(b) A carga positiva inicial da outra esfera é aproximadamente $ +6,33 \times 10^{-6} , C $.

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