Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas, se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0,108 N quando a distância entre os centros é 50,0 cm. As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de 0,0360 N. Supondo que a carga total das esferas fosse inicialmente positiva, determine:
(a) a carga negativa inicial de uma das esferas;
(b) a carga positiva inicial da outra esfera.
(a) a carga negativa inicial de uma das esferas;
(b) a carga positiva inicial da outra esfera.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão envolve força eletrostática entre duas esferas condutoras. A gente vai usar conceitos de Lei de Coulomb e distribuição de cargas em condutores. Precisamos entender como as cargas se comportam quando as esferas estão separadas e quando estão conectadas por um fio. Vamos resolver passo a passo para descobrir as cargas iniciais nas esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas. A fórmula é:
Onde:
- $ F $ é a força eletrostática entre as cargas,
- $ k $ é a constante de Coulomb ($ 8,988 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $),
- $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas,
- $ r $ é a distância entre as cargas.
Passo 3
Vamos analisar a primeira situação: as esferas estão separadas por 50,0 cm e se atraem com uma força de 0,108 N. Isso significa que uma esfera tem carga positiva e a outra negativa, já que cargas opostas se atraem.
Vamos converter a distância para metros:
Passo 4
Usando a Lei de Coulomb, temos:
Como $ k = 8,988 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $, podemos reorganizar a equação para encontrar o produto $ q_1 \cdot q_2 $:
Calculando isso:
Passo 5
Agora, quando as esferas estão conectadas por um fio condutor, as cargas se redistribuem igualmente porque as esferas são iguais. Vamos chamar a carga total de $ Q $. Após a conexão, cada esfera terá metade da carga total:
Quando o fio é removido, as esferas têm a mesma carga $ \frac{Q}{2} $ e se repelem com uma força de 0,0360 N.
Passo 6
Aplicando novamente a Lei de Coulomb para a repulsão:
Vamos resolver para $ Q $:
Então:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 7
Sabendo que a carga total $ Q $ é distribuída igualmente, cada esfera após a conexão tem:
Passo 8
Voltando à situação inicial, antes de conectar o fio, a carga total das esferas era positiva e igual a $ Q $. Mas inicialmente, uma esfera tinha carga negativa e a outra positiva. Vamos chamar a carga negativa de $ -q $ e a positiva de $ Q - q $ para que a carga total seja $ Q $.
Usando o produto das cargas que encontramos:
Substituindo $ Q = 6,33 \times 10^{-6} , C $:
Assumindo que $ q $ é muito menor que $ Q $, podemos simplificar:
Então:
Resposta
(a) A carga negativa inicial de uma das esferas é aproximadamente $ -4,74 \times 10^{-7} , C $.
(b) A carga positiva inicial da outra esfera é aproximadamente $ +6,33 \times 10^{-6} , C $.