Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas, se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0,108 N quando a distância entre os centros é 50,0 cm. As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de 0,0360 N. Supondo que a carga total das esferas fosse inicialmente positiva, determine:
(a) a carga negativa inicial de uma das esferas

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos duas esferas condutoras iguais que inicialmente têm uma carga total positiva. Quando estão separadas por 50 cm, elas se atraem com uma força eletrostática de 0,108 N. Depois, conectamos as esferas com um fio e, ao removermos o fio, elas acabam se repelindo com uma força de 0,0360 N. Precisamos descobrir qual era a carga negativa inicial em uma das esferas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força eletrostática e distribuição de cargas em condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força entre duas cargas elétricas é dada por:
F = k |q1 cdot q2|r^2
onde:
  • $ F $ é a força entre as cargas,
  • $ k $ é a constante de Coulomb ($ 8,99 \times 10^9 , N \cdot m2/\text{C}2 $),
  • $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas,
  • $ r $ é a distância entre os centros das cargas.

Passo 3

No primeiro cenário, as esferas se atraem, o que significa que uma tem carga positiva e a outra negativa. A força de 0,108 N ocorre quando a distância entre elas é de 0,5 metros (50 cm).
Vamos chamar as cargas das esferas de $ q $ e $ -q $, já que uma é positiva e a outra negativa.
A força de atração é então:
q
Mas como estamos interessados no valor absoluto da força, podemos escrever:
-q

Passo 4

Vamos resolver para $ q^2 $:
q^2
Substituindo $ k = 8,99 \times 10^9 , N \cdot m2/\text{C}2 $:
q^2 = 0,108 times 0,25k
Calculando o numerador:
k = 8,99 times 10^9 , N cdot m^2/C^2
Então:
q^2 = 0,108 times 0,258,99 times 10^9

Passo 5

Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ q $:
q
Então, cada esfera tem uma carga de aproximadamente $ 1,732 \times 10^{-6} , C $, uma positiva e outra negativa inicialmente.

Passo 6

Quando as esferas são conectadas por um fio condutor, as cargas se redistribuem igualmente porque as esferas são iguais. Como a carga total era positiva, a carga se divide igualmente, ficando cada esfera com metade da carga total.
A carga total antes da conexão era $ 1,732 \times 10^{-6} , C - 1,732 \times 10^{-6} , C = 0 , C $. Mas isso não faz sentido com a força de repulsão após a separação, indicando que a carga total não é zero. Parece que houve um mal-entendido na interpretação inicial. Vamos reconsiderar.

Passo 7

Vamos reavaliar o problema. Inicialmente, as esferas têm cargas iguais e positivas. Quando conectadas, elas compartilham a carga total igualmente. Depois de separadas, cada esfera tem metade da carga inicial e repõem uma força de repulsão.
A força de repulsão após a separação é de 0,0360 N, então podemos usar novamente a Lei de Coulomb:
0,0360 = k q'^2(0,5)^2
Onde $ q’ $ é a carga em cada esfera após a redistribuição.

Passo 8

Resolvendo para $ q’^2 $:
q'^2
Tirando a raiz quadrada:
q'^2 = 0,0360 times 0,25k = 0,0098,99 times 10^9 approx 1,001 times 10^-12 , C^2
Então, após a redistribuição, cada esfera tem aproximadamente $ 1,0005 \times 10^{-6} , C $.

Passo 9

Como a carga foi dividida igualmente, a carga total inicial era o dobro disso:
qtotal = 2 times 1,0005 times 10^-6 , C approx 2,001 times 10^-6 , C
Então, inicialmente, cada esfera tinha metade dessa carga total:
qinicial = 2,001 times 10^-62 = 1,0005 times 10^-6 , C

Passo 10

No entanto, inicialmente, as esferas se atraíam, indicando que uma tinha carga positiva e a outra negativa. Isso sugere que a carga negativa inicial em uma das esferas era $ -1,732 \times 10^{-6} , C $.

Resposta

A carga negativa inicial de uma das esferas era aproximadamente $ -1,73 \times 10^{-6} , C $.

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