Duas ondas senoidais propagam-se ao longo de uma corda em sentidos opostos. Cada onda tem amplitude de 0,6 cm e a distância entre duas cristas em ambas as ondas é de 4,0 cm. A velocidade de propagação de onda na corda é de 200 cm / s. Considere as fases iniciais das ondas como sendo nulas. Determine: a equação da onda resultante

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ondas senoidais que se propagam na corda em sentidos opostos. Cada onda tem uma amplitude de 0,6,cm, um comprimento de onda de 4,0,cm (que é a distância entre duas cristas) e a velocidade de propagação é de 200,cm/s. As fases iniciais das ondas são nulas, ou seja, começam do zero. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da onda resultante quando essas duas ondas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos entender alguns conceitos básicos que vamos precisar:
  • Amplitude ( A): é a altura máxima da onda em relação à posição de equilíbrio. Aqui, A = 0,6,cm.
  • Comprimento de onda ( lambda): é a distância entre duas cristas consecutivas, que aqui é 4,0,cm.
  • Velocidade de propagação ( v): é a velocidade com que a onda se desloca na corda, v = 200,cm/s.
  • Número de onda ( k): relacionado ao comprimento de onda pela fórmula k = 2pilambda.
  • Frequência ( f): quantas oscilações a onda faz por segundo, calculada por f = vlambda.
  • Frequência angular ( omega): relacionada à frequência por omega = 2pi f.

Passo 3

Vamos calcular o número de onda ( k):
k = 2pilambda = 2pi4,0,cm = pi2,cm^-1

Passo 4

Agora, vamos encontrar a frequência ( f):
f = vlambda = 200,cm/s4,0,cm = 50,Hz

Passo 5

Com a frequência, podemos calcular a frequência angular ( omega):
omega = 2pi f = 2pi times 50,Hz = 100pi,rad/s

Passo 6

Como as ondas se propagam em sentidos opostos e têm fases iniciais nulas, as equações das duas ondas podem ser escritas como:
y1(x,t) = A sin(kx - omega t)
y2(x,t) = A sin(kx + omega t)

Passo 7

Para encontrar a onda resultante ( y(x,t)), somamos as duas ondas:
y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) = A sin(kx - omega t) + A sin(kx + omega t)

Passo 8

Usando a identidade trigonométrica para a soma de senos:
sin alpha + sin beta = 2 sin(alpha + beta2) cos(alpha - beta2)
Aplicando isso às nossas ondas:
y(x,t) = 2A sin(kx) cos(omega t)

Passo 9

Agora, substituímos os valores que já calculamos:
  • A = 0,6,cm
  • k = pi2,cm^-1
  • omega = 100pi,rad/s
Portanto:
y(x,t) = 2 times 0,6,cm times sin(pi2x) times cos(100pi t)

Resposta

A equação da onda resultante é
y(x,t) = 1,2,cm cdot sin(pi2,x) cos(100pi,t)

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