Duas placas negras e infinitas a 500^circ C e 100^circ C trocam calor por radiação. Calcule a taxa de transferência de calor por unidade de área. Se outra placa perfeitamente negra for colocada entre as placas de 500^circ C e 100^circ C, qual será a redução do calor transferido? Qual será a temperatura da placa central?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas placas negras infinitas, uma a e a outra a , que estão trocando calor por radiação. Nosso objetivo é calcular a taxa de transferência de calor por unidade de área entre elas. Depois, vamos ver o que acontece quando colocamos uma terceira placa preta perfeitamente entre elas: quanto o calor transferido diminui e qual fica a temperatura dessa placa central.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que placas negras são emissores e absorvedoras perfeitas de radiação térmica. Para calcular a transferência de calor por radiação entre duas placas, usamos a Lei de Stefan-Boltzmann. Essa lei nos diz que a potência radiada por unidade de área de um corpo negro é proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta.
A fórmula é:
q = sigma (T1^4 - T2^4)
onde:
  • é a taxa de transferência de calor por unidade de área,
  • é a constante de Stefan-Boltzmann ( ),
  • e são as temperaturas absolutas das placas em Kelvin.

Passo 3

Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, já que a fórmula usa temperaturas absolutas.
T(K) = T(°C) + 273,15
Para a placa a T1 = 500 + 273,15 = 773,15 , K :
T2 = 100 + 273,15 = 373,15 , K
Para a placa a :

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Stefan-Boltzmann para encontrar a taxa de transferência de calor por unidade de área.
q = sigma (T1^4 - T2^4)
Substituindo os valores:
q = 5,67 times 10^-8 (773,15^4 - 373,15^4)

Passo 5

Vamos calcular as potências das temperaturas:
773,15^4 approx 3,57 times 10^11 , K^4
373,15^4 approx 1,94 times 10^10 , K^4
Agora, a diferença:
3,57 times 10^11 - 1,94 times 10^10 approx 3,37 times 10^11 , K^4

Passo 6

Multiplicando pela constante de Stefan-Boltzmann:
q = 5,67 times 10^-8 times 3,37 times 10^11 approx 1,91 times 10^4 , W/m^2

Passo 7

Então, a taxa de transferência de calor por unidade de área entre as duas placas é aproximadamente .

Passo 8

Agora, vamos colocar uma terceira placa preta perfeitamente entre as duas originais e ver como isso afeta a transferência de calor. Quando adicionamos uma placa intermediária, o sistema passa a ter duas trocas de radiação: da placa quente para a central e da central para a placa fria.
Como todas são placas negras, a placa central vai absorver toda a radiação das duas placas e também emitir radiação. Em equilíbrio, a quantidade de energia absorvida pela placa central deve ser igual à quantidade de energia que ela emite.

Passo 9

Vamos chamar a temperatura da placa central de q1 = sigma (T1^4 - Tc^4) . A taxa de transferência de calor da placa quente para a central será:
q2 = sigma (Tc^4 - T2^4)
E a taxa de transferência de calor da central para a placa fria será:
sigma (T1^4 - Tc^4) = sigma (Tc^4 - T2^4)
No equilíbrio térmico, T1^4 - Tc^4 = Tc^4 - T2^4 , então:
Podemos simplificar cancelando :

Passo 10

Rearranjando a equação:
T1^4 + T2^4 = 2 Tc^4
Isolando Tc^4 = T1^4 + T2^42 :
Tc = ( T1^4 + T2^42 )^1/4
Tomando a raiz quarta:

Passo 11

Substituindo os valores que já calculamos:
Tc = ( 3,57 times 10^11 + 1,94 times 10^102 )^1/4 approx ( 3,77 times 10^112 )^1/4 approx (1,885 times 10^11)^1/4
Calculando:
Tc approx 666,49 , K
Convertendo para Celsius:
Tc = 666,49 - 273,15 approx 393,34^circ C

Passo 12

Agora, vamos calcular a nova taxa de transferência de calor. Usando q' = sigma (T1^4 - Tc^4) = sigma (3,57 times 10^11 - 1,885 times 10^11) = sigma times 1,685 times 10^11 :
q' = 5,67 times 10^-8 times 1,685 times 10^11 approx 9,56 times 10^3 , W/m^2

Passo 13

Antes, sem a placa central, a taxa de transferência era 1,91 times 10^4 - 9,56 times 10^3 = 9,56 times 10^3 , W/m^2 . Com a placa central, passou para aproximadamente . A redução é:

Resposta

A taxa de transferência de calor por unidade de área entre as duas placas é aproximadamente . Ao adicionar uma placa preta central, a transferência de calor reduz para cerca de , diminuindo o fluxo em . A temperatura da placa central fica aproximadamente .

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