Duas placas negras e infinitas a
e
trocam calor por radiação. Calcule a taxa de transferência de calor por unidade de área. Se outra placa perfeitamente negra for colocada entre as placas de
e
, qual será a redução do calor transferido? Qual será a temperatura da placa central?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas placas negras infinitas, uma a
e a outra a
, que estão trocando calor por radiação. Nosso objetivo é calcular a taxa de transferência de calor por unidade de área entre elas. Depois, vamos ver o que acontece quando colocamos uma terceira placa preta perfeitamente entre elas: quanto o calor transferido diminui e qual fica a temperatura dessa placa central.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que placas negras são emissores e absorvedoras perfeitas de radiação térmica. Para calcular a transferência de calor por radiação entre duas placas, usamos a Lei de Stefan-Boltzmann. Essa lei nos diz que a potência radiada por unidade de área de um corpo negro é proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta.
A fórmula é:
onde:
-
é a taxa de transferência de calor por unidade de área, -
é a constante de Stefan-Boltzmann ( ), -
e são as temperaturas absolutas das placas em Kelvin.
Passo 3
Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, já que a fórmula usa temperaturas absolutas.
Para a placa a
:
Para a placa a
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Lei de Stefan-Boltzmann para encontrar a taxa de transferência de calor por unidade de área.
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular as potências das temperaturas:
Agora, a diferença:
Passo 6
Multiplicando pela constante de Stefan-Boltzmann:
Passo 7
Então, a taxa de transferência de calor por unidade de área entre as duas placas é aproximadamente
.
Passo 8
Agora, vamos colocar uma terceira placa preta perfeitamente entre as duas originais e ver como isso afeta a transferência de calor. Quando adicionamos uma placa intermediária, o sistema passa a ter duas trocas de radiação: da placa quente para a central e da central para a placa fria.
Como todas são placas negras, a placa central vai absorver toda a radiação das duas placas e também emitir radiação. Em equilíbrio, a quantidade de energia absorvida pela placa central deve ser igual à quantidade de energia que ela emite.
Passo 9
Vamos chamar a temperatura da placa central de
. A taxa de transferência de calor da placa quente para a central será:
E a taxa de transferência de calor da central para a placa fria será:
No equilíbrio térmico,
, então:
Podemos simplificar cancelando
:
Passo 10
Rearranjando a equação:
Isolando
:
Tomando a raiz quarta:
Passo 11
Substituindo os valores que já calculamos:
Calculando:
Convertendo para Celsius:
Passo 12
Agora, vamos calcular a nova taxa de transferência de calor. Usando
:
Passo 13
Antes, sem a placa central, a taxa de transferência era
. Com a placa central, passou para aproximadamente
. A redução é:
Resposta
A taxa de transferência de calor por unidade de área entre as duas placas é aproximadamente
. Ao adicionar uma placa preta central, a transferência de calor reduz para cerca de
, diminuindo o fluxo em
. A temperatura da placa central fica aproximadamente
.
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a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)