Duas placas negras e infinitas a e trocam calor por radiação. Calcule a taxa de transferência de calor por unidade de área. Se outra placa perfeitamente negra for colocada entre as placas de e , qual será a redução do calor transferido? Qual será a temperatura da placa central?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas placas negras infinitas, uma a e a outra a , que estão trocando calor por radiação. Nosso objetivo é calcular a taxa de transferência de calor por unidade de área entre elas. Depois, vamos ver o que acontece quando colocamos uma terceira placa preta perfeitamente entre elas: quanto o calor transferido diminui e qual fica a temperatura dessa placa central.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que placas negras são emissores e absorvedoras perfeitas de radiação térmica. Para calcular a transferência de calor por radiação entre duas placas, usamos a Lei de Stefan-Boltzmann. Essa lei nos diz que a potência radiada por unidade de área de um corpo negro é proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta.
A fórmula é:
onde:
  • é a taxa de transferência de calor por unidade de área,
  • é a constante de Stefan-Boltzmann ( ),
  • e são as temperaturas absolutas das placas em Kelvin.

Passo 3

Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, já que a fórmula usa temperaturas absolutas.
Para a placa a :
Para a placa a :

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Stefan-Boltzmann para encontrar a taxa de transferência de calor por unidade de área.
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos calcular as potências das temperaturas:
Agora, a diferença:

Passo 6

Multiplicando pela constante de Stefan-Boltzmann:

Passo 7

Então, a taxa de transferência de calor por unidade de área entre as duas placas é aproximadamente .

Passo 8

Agora, vamos colocar uma terceira placa preta perfeitamente entre as duas originais e ver como isso afeta a transferência de calor. Quando adicionamos uma placa intermediária, o sistema passa a ter duas trocas de radiação: da placa quente para a central e da central para a placa fria.
Como todas são placas negras, a placa central vai absorver toda a radiação das duas placas e também emitir radiação. Em equilíbrio, a quantidade de energia absorvida pela placa central deve ser igual à quantidade de energia que ela emite.

Passo 9

Vamos chamar a temperatura da placa central de . A taxa de transferência de calor da placa quente para a central será:
E a taxa de transferência de calor da central para a placa fria será:
No equilíbrio térmico, , então:
Podemos simplificar cancelando :

Passo 10

Rearranjando a equação:
Isolando :
Tomando a raiz quarta:

Passo 11

Substituindo os valores que já calculamos:
Calculando:
Convertendo para Celsius:

Passo 12

Agora, vamos calcular a nova taxa de transferência de calor. Usando :

Passo 13

Antes, sem a placa central, a taxa de transferência era . Com a placa central, passou para aproximadamente . A redução é:

Resposta

A taxa de transferência de calor por unidade de área entre as duas placas é aproximadamente . Ao adicionar uma placa preta central, a transferência de calor reduz para cerca de , diminuindo o fluxo em . A temperatura da placa central fica aproximadamente .

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a)
b)
c)
d)
e)