Durante quantos meses o capital R$ 500.000,00 deverá ser aplicado a 6% a.m. de juros compostos para se transformar em R$ 844.700,00?

Passo 1

Vamos dar uma resumida no problema: Você tem R$ 500.000,00 para investir a uma taxa de 6% ao mês de juros compostos e quer saber por quantos meses esse dinheiro vai crescer até chegar em R$ 844.700,00.
Aqui, estamos trabalhando com juros compostos, que é quando os juros são calculados sobre o valor inicial mais os juros já acumulados. Para resolver isso, vamos usar a fórmula dos juros compostos e descobrir o tempo necessário para que o capital inicial alcance o montante desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula dos juros compostos:
M = C times (1 + i)^n
Onde:
  • $ M $ é o montante final (R$ 844.700,00)
  • $ C $ é o capital inicial (R$ 500.000,00)
  • $ i $ é a taxa de juros por período (6% ou 0,06)
  • $ n $ é o número de períodos (meses) que queremos descobrir

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o valor de $ n $. Para isso, vamos reorganizar a fórmula para isolar $ n $. Primeiro, dividimos ambos os lados da equação por $ C $:
n
Substituindo os valores que temos:
n

Passo 4

Calculando o lado esquerdo da equação:
844700500000 = 1.6894
Então, a equação fica assim:
1.6894 = (1.06)^n

Passo 5

Para resolver para $ n $, usamos o logaritmo. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
n

Passo 6

Agora, vamos calcular os logaritmos:
ln(1.6894) approx 0.526
ln(1.06) approx 0.058
Então, a equação fica:
0.526 = n times 0.058

Passo 7

Finalmente, isolamos $ n $ dividindo os dois lados por 0.058:
n
n = 0.5260.058

Resposta

O capital de R$ 500.000,00 precisa ser aplicado por aproximadamente 9 meses a uma taxa de 6% ao mês de juros compostos para se transformar em R$ 844.700,00.

Exercícios relacionados