Durante quantos meses o capital R$ 500.000,00 deverá ser aplicado a 6% a.m. de juros compostos para se transformar em R$ 844.700,00?
Passo 1
Vamos dar uma resumida no problema: Você tem R$ 500.000,00 para investir a uma taxa de 6% ao mês de juros compostos e quer saber por quantos meses esse dinheiro vai crescer até chegar em R$ 844.700,00.
Aqui, estamos trabalhando com juros compostos, que é quando os juros são calculados sobre o valor inicial mais os juros já acumulados. Para resolver isso, vamos usar a fórmula dos juros compostos e descobrir o tempo necessário para que o capital inicial alcance o montante desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula dos juros compostos:
Onde:
- $ M $ é o montante final (R$ 844.700,00)
- $ C $ é o capital inicial (R$ 500.000,00)
- $ i $ é a taxa de juros por período (6% ou 0,06)
- $ n $ é o número de períodos (meses) que queremos descobrir
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o valor de $ n $. Para isso, vamos reorganizar a fórmula para isolar $ n $. Primeiro, dividimos ambos os lados da equação por $ C $:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Calculando o lado esquerdo da equação:
Então, a equação fica assim:
Passo 5
Para resolver para $ n $, usamos o logaritmo. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Passo 6
Agora, vamos calcular os logaritmos:
Então, a equação fica:
Passo 7
Finalmente, isolamos $ n $ dividindo os dois lados por 0.058:
Resposta
O capital de R$ 500.000,00 precisa ser aplicado por aproximadamente 9 meses a uma taxa de 6% ao mês de juros compostos para se transformar em R$ 844.700,00.