Efetue as operações a seguir e expresse as respostas em forma polar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de operações com números complexos em forma polar. Vamos precisar entender como manipular números complexos na forma polar, lidar com potências e multiplicações, e simplificar expressões envolvendo j (a unidade imaginária). Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão:
Temos três principais partes para resolver: a primeira envolve uma potência no denominador, a segunda envolve uma potência com j no denominador, e a terceira é uma fração com uma expressão complexa no denominador.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a primeira parte: .
Quando elevamos um número complexo em forma polar ao quadrado, multiplicamos os ângulos por 2 e elevamos o módulo ao quadrado:
Então, o inverso disso é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
.
Primeiro, lembrando que
, então
.
Então:
Elevando ao cubo:
Como
é o mesmo que
, simplificamos para:
Passo 5
Vamos agora simplificar a terceira parte:
.
Primeiro, calculamos
.
Então, a expressão no denominador fica:
Para simplificar a fração, vamos expressar
em forma polar. Calculamos o módulo e o ângulo:
Módulo:
Ângulo:
Então:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos todas as três partes simplificadas, vamos multiplicá-las:
Primeiro, multiplicamos os módulos:
Em seguida, somamos os ângulos:
Resposta
A resposta final em forma polar é
.