O elemento combustível proposto para um reator nuclear consiste de um núcleo cilíndrico de 5 cm de diâmetro, envolto por uma camada de de alumínio. A face externa do alumínio estará em contato com o fluido transportador de calor, que manterá esta superfície a . O núcleo fornece uma taxa de calor por unidade de volume de . Devido ao efeito adverso da temperatura sobre o alumínio, a temperatura do revestimento não poderá exceder em qualquer ponto. Este projeto é satisfatório? Para o alumínio use , em que e , na faixa de 90 a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está relacionado ao Transferência de Calor, especificamente sobre condução de calor em um sistema cilíndrico. Precisamos verificar se o projeto do elemento combustível é satisfatório, ou seja, se a temperatura do revestimento de alumínio não excede 430°C. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Condução de Calor de Fourier e considerar que a condutividade térmica do alumínio varia com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões do sistema:
  • Núcleo cilíndrico:
    • Diâmetro: 5 cm
    • Raio: ú
  • Camada de alumínio:
    • Espessura: 0,6 cm
    • Portanto, o raio total até a superfície externa do alumínio é: ú

Passo 3

O fluxo de calor ocorre do núcleo para a superfície externa do alumínio. A taxa de geração de calor no núcleo é dada por:
Como o núcleo é cilíndrico, a taxa de calor por unidade de comprimento pode ser calculada multiplicando pela área do núcleo:
ú
Precisamos converter todas as unidades para o sistema consistente. Vamos converter centímetros para metros:

Passo 4

A condutividade térmica do alumínio varia com a temperatura:
onde:
Como depende de , teremos que resolver a equação diferencial de condução de calor para encontrar a distribuição de temperatura ao longo do diâmetro do cilindro.

Passo 5

A equação diferencial em coordenadas cilíndricas, assumindo condição estacionária e simetria axial, é:
Substituindo :
Essa equação é não linear devido ao termo , o que dificulta uma solução analítica exata. Portanto, vamos aproximar assumindo uma média de temperatura.

Passo 6

Vamos considerar que a temperatura no revestimento varia de na superfície externa a á na interface núcleo-alumínio. Calculamos uma temperatura média:
éá
Com essa temperatura média, calculamos é:
éé
é

Passo 7

Agora, usando a condutividade térmica média, aplicamos a equação de condução para um cilindro:
áú
Onde é o comprimento do cilindro. Como depende de , para avaliar se o projeto é satisfatório independentemente do comprimento, podemos rearranjar a equação para verificar a relação entre as temperaturas e condutividade.

Passo 8

Verificamos se, com a condutividade média calculada, a temperatura máxima não será excedida:
áú
Como está dentro dos limites, e foi ajustado para uma média que garante á, o projeto atende aos requisitos de temperatura.

Resposta

Sim, o projeto é satisfatório, pois a temperatura do revestimento de alumínio não excede 430°C quando considerada a condutividade térmica média calculada.

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