Um elétron está confinado numa caixa unidimensional de comprimento L=0,100 nm .
a) Ache a energia fundamental em eV .
Considere para a resolução deste exercício
& h=6,62 cdot 10^-34 J s & c=3.10^8 m / s & m=9,1 cdot 10^-31 Kg & 1 eV=1,6 cdot 10^-19 J
b) Ache as energias dos dois estados excitados, ou seja, de energia mais baixos, que têm energias acima de energia do estado fundamental.
c) Ache o comprimento de onda dos fótons emitidos para todas as transições do estado n=3 para estados de energia mais baixa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um elétron preso dentro de uma caixa unidimensional com comprimento nm. A matéria aqui é sobre quantização de energia em caixas de potencial, que é um conceito fundamental na física quântica. Para resolver esse exercício, vamos precisar das constantes fornecidas, como o valor de (constante de Planck), a massa do elétron , e a relação entre joules e elétron-volts (eV).

Passo 2

Vamos começar pela primeira parte: achar a energia fundamental do elétron na caixa. Na física quântica, um elétron confinado numa caixa tem níveis de energia quantizados, ou seja, só pode ter certos valores de energia. A energia do estado fundamental (o menor valor de energia) é dada pela fórmula:
E1 = pi^2 hbar^22mL^2
Onde:
  • hbar = 6,62 times 10^-34 , J·s2pi approx 1,05 times 10^-34 , J·s é a constante de Planck reduzida, que é E1 = pi^2 (1,05 times 10^-34 , J·s)^22 times 9,1 times 10^-31 , kg times (0,100 times 10^-9 , m)^2 .
  • (1,05 times 10^-34)^2 = 1,1025 times 10^-68 , J^2·s^2 é a massa do elétron.
  • 2 times 9,1 times 10^-31 times (0,100 times 10^-9)^2 = 2 times 9,1 times 10^-31 times 1,0 times 10^-20 = 1,82 times 10^-50 , kg·m^2 é o comprimento da caixa.
Primeiro, vamos calcular E1 = pi^2 times 1,1025 times 10^-681,82 times 10^-50 approx 10,88 times 10^-681,82 times 10^-50 approx 5,98 times 10^-18 , J :
E1 = 5,98 times 10^-18 , J1,6 times 10^-19 , J/eV approx 37,4 , eV
Agora, substituindo os valores na fórmula de :
Fazendo os cálculos passo a passo:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Agora, convertendo joules para elétron-volts (eV):

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: achar as energias dos dois estados excitados, ou seja, os estados com a próxima menores energias após o estado fundamental. Na caixa de potencial, as energias são dadas por:
En = n^2 pi^2 hbar^22mL^2
Onde E2 = 2^21^2 times E1 = 4 times 37,4 , eV = 149,6 , eV é o número quântico principal ( E3 = 3^21^2 times E1 = 9 times 37,4 , eV = 336,6 , eV para o estado fundamental, , , etc.). Já calculamos , então para os estados excitados e :
Para :
Para :
Então, os dois estados excitados mais baixos têm energias de aproximadamente 149,6 e 336,6 eV.

Passo 4

Por fim, vamos para a terceira parte: achar o comprimento de onda dos fótons emitidos nas transições do estado E = hclambda para estados de energia mais baixa. Quando o elétron cai de um estado de maior energia para um de menor, ele libera um fóton com energia igual à diferença entre as duas energias.
A relação entre a energia do fóton lambda = hcE e seu comprimento de onda De é dada pela equação:
De
Queremos encontrar 187,0 , eV times 1,6 times 10^-19 , J/eV = 2,992 times 10^-17 , J , então rearranjamos a fórmula:
299,2 , eV times 1,6 times 10^-19 , J/eV = 4,7872 times 10^-17 , J
Primeiro, vamos calcular as diferenças de energia:
  1. lambda = 6,62 times 10^-34 times 3 times 10^82,992 times 10^-17 approx 1,986 times 10^-252,992 times 10^-17 approx 6,64 times 10^-9 , m = 6,64 , nm para lambda = 6,62 times 10^-34 times 3 times 10^84,7872 times 10^-17 approx 1,986 times 10^-254,7872 times 10^-17 approx 4,14 times 10^-9 , m = 4,14 , nm :
  1. para :
Agora, convertendo essas energias para joules:
Agora, calculando os comprimentos de onda:
  1. Para :
  1. Para :
Então, os comprimentos de onda dos fótons emitidos para as transições do estado são aproximadamente 6,64 nm e 4,14 nm.

Resposta

a) A energia fundamental é aproximadamente 37,4 eV.
b) As energias dos dois estados excitados mais baixos são aproximadamente 149,6 eV e 336,6 eV.
c) Os comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições do estado são aproximadamente 6,64 nm e 4,14 nm.

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