Um elétron está confinado numa caixa unidimensional de comprimento nm .
a) Ache a energia fundamental em eV .
Considere para a resolução deste exercício
b) Ache as energias dos dois estados excitados, ou seja, de energia mais baixos, que têm energias acima de energia do estado fundamental.
c) Ache o comprimento de onda dos fótons emitidos para todas as transições do estado para estados de energia mais baixa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um elétron preso dentro de uma caixa unidimensional com comprimento nm. A matéria aqui é sobre quantização de energia em caixas de potencial, que é um conceito fundamental na física quântica. Para resolver esse exercício, vamos precisar das constantes fornecidas, como o valor de (constante de Planck), a massa do elétron , e a relação entre joules e elétron-volts (eV).

Passo 2

Vamos começar pela primeira parte: achar a energia fundamental do elétron na caixa. Na física quântica, um elétron confinado numa caixa tem níveis de energia quantizados, ou seja, só pode ter certos valores de energia. A energia do estado fundamental (o menor valor de energia) é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a constante de Planck reduzida, que é .
  • é a massa do elétron.
  • é o comprimento da caixa.
Primeiro, vamos calcular :
Agora, substituindo os valores na fórmula de :
Fazendo os cálculos passo a passo:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Agora, convertendo joules para elétron-volts (eV):

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: achar as energias dos dois estados excitados, ou seja, os estados com a próxima menores energias após o estado fundamental. Na caixa de potencial, as energias são dadas por:
Onde é o número quântico principal ( para o estado fundamental, , , etc.). Já calculamos , então para os estados excitados e :
Para :
Para :
Então, os dois estados excitados mais baixos têm energias de aproximadamente 149,6 e 336,6 eV.

Passo 4

Por fim, vamos para a terceira parte: achar o comprimento de onda dos fótons emitidos nas transições do estado para estados de energia mais baixa. Quando o elétron cai de um estado de maior energia para um de menor, ele libera um fóton com energia igual à diferença entre as duas energias.
A relação entre a energia do fóton e seu comprimento de onda é dada pela equação:
Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:
Primeiro, vamos calcular as diferenças de energia:
  1. para :
  1. para :
Agora, convertendo essas energias para joules:
Agora, calculando os comprimentos de onda:
  1. Para :
  1. Para :
Então, os comprimentos de onda dos fótons emitidos para as transições do estado são aproximadamente 6,64 nm e 4,14 nm.

Resposta

a) A energia fundamental é aproximadamente 37,4 eV.
b) As energias dos dois estados excitados mais baixos são aproximadamente 149,6 eV e 336,6 eV.
c) Os comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições do estado são aproximadamente 6,64 nm e 4,14 nm.

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