Um elétron e um pósitron se movem um em direção ao outro com velocidades iguais de
. As duas partículas se aniquilam mutuamente e produzem dois fótons de mesma energia. (a) Quais eram os comprimentos de onda do elétron e do pósitron?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido na questão. Temos um elétron e um pósitron que estão se movendo um em direção ao outro, ambos com uma velocidade de
. Quando essas partículas se encontram, elas se aniquilam mutuamente e produzem dois fótons de mesma energia. A pergunta (a) quer saber quais eram os comprimentos de onda do elétron e do pósitron antes da aniquilação.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de onda de de Broglie, que relaciona a natureza ondulatória das partículas com sua quantidade de movimento. Precisaremos conhecer a massa das partículas e a velocidade com que elas estão se movendo.
Passo 2
O comprimento de onda de de Broglie (
) de uma partícula é dado pela fórmula:
onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a quantidade de movimento da partícula.
A quantidade de movimento (
) é calculada por:
onde:
-
é a massa da partícula, -
é a velocidade da partícula.
Passo 3
Vamos calcular a quantidade de movimento para o elétron e o pósitron. Sabemos que ambos têm a mesma massa e velocidade:
- Massa do elétron (
) = , - Massa do pósitron é igual à do elétron,
- Velocidade (
) = .
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o comprimento de onda para cada partícula usando a fórmula de de Broglie:
Resposta
Os comprimentos de onda do elétron e do pósitron são aproximadamente
cada.
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, resolvendo a equação
. Sugestão: Faça
e mostre que a equação citada leva a
1. Verifique então que
é a solução (pode usar o computador para encontrar este número).
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