Obtenha a lei do deslocamento de Wien em termos da frequência, , resolvendo a equação . Sugestão: Faça e mostre que a equação citada leva a 1. Verifique então que é a solução (pode usar o computador para encontrar este número).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com a Lei de Deslocamento de Wien, que descreve qual a frequência (ou comprimento de onda) em que a radiação emitida por um corpo negro é máxima, dependendo da sua temperatura. No nosso caso, queremos encontrar a frequência máxima, representada por , em termos da temperatura . Para isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre radiação de corpo negro e aplicar um pouco de cálculo para encontrar o ponto de máximo.

Passo 2

A Lei de Deslocamento de Wien pode ser obtida analisando a distribuição espectral da radiação de corpo negro, que é dada pela Lei de Planck. A função que descreve a densidade espectral de energia em função da frequência é:
onde:
  • é a constante de Planck,
  • é a velocidade da luz,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura absoluta.

Passo 3

Para encontrar a frequência em que a densidade espectral de energia é máxima, precisamos encontrar o ponto em que a derivada de em relação a é igual a zero:
Isso nos dará o valor de para o qual a radiação emitida é máxima.

Passo 4

Vamos simplificar a equação usando uma substituição. Seja:
Isso nos ajuda a tornar a equação mais simples para resolver. Agora, reescrevendo a densidade espectral em termos de :

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a zero para encontrar o valor de que maximiza a densidade espectral:
Após simplificar a derivada, chegamos à seguinte equação:

Passo 6

Essa equação não pode ser resolvida analiticamente de forma simples, então precisamos encontrar o valor de que a satisfaz numericamente. Utilizando métodos numéricos ou uma calculadora, encontramos que:

Resposta

Substituindo de volta, temos a Lei de Deslocamento de Wien em termos da frequência:
Isso significa que a frequência na qual a radiação de um corpo negro é máxima aumenta proporcionalmente à temperatura .

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