Obtenha a lei do deslocamento de Wien em termos da frequência, numax =2,8214 k T / h, resolvendo a equação d rhoT^*(nu) / d nu=0. Sugestão: Faça h nu / k T= x e mostre que a equação citada leva a e^-x+x / 3= 1. Verifique então que x=2,8214 é a solução (pode usar o computador para encontrar este número).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com a Lei de Deslocamento de Wien, que descreve qual a frequência (ou comprimento de onda) em que a radiação emitida por um corpo negro é máxima, dependendo da sua temperatura. No nosso caso, queremos encontrar a frequência máxima, representada por numax, em termos da temperatura T. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre radiação de corpo negro e aplicar um pouco de cálculo para encontrar o ponto de máximo.

Passo 2

A Lei de Deslocamento de Wien pode ser obtida analisando a distribuição espectral da radiação de corpo negro, que é dada pela Lei de Planck. A função que descreve a densidade espectral de energia em função da frequência nu é:
rhoT^*(nu) = 8pi h nu^3c^3 1e^hnu/(kT) - 1
onde:
  • h é a constante de Planck,
  • c é a velocidade da luz,
  • k é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura absoluta.

Passo 3

Para encontrar a frequência numax em que a densidade espectral de energia é máxima, precisamos encontrar o ponto em que a derivada de rhoT^*(nu) em relação a nu é igual a zero:
drhoT^*(nu)dnu = 0
Isso nos dará o valor de nu para o qual a radiação emitida é máxima.

Passo 4

Vamos simplificar a equação usando uma substituição. Seja:
x = hnukT
Isso nos ajuda a tornar a equação mais simples para resolver. Agora, reescrevendo a densidade espectral em termos de x:
rhoT^*(nu) = 8pi k^3 T^3c^3 h^3 x^3 1e^x - 1

Passo 5

Agora, vamos derivar rhoT^*(nu) em relação a x e igualar a zero para encontrar o valor de x que maximiza a densidade espectral:
drhoT^*(nu)dx = 0
Após simplificar a derivada, chegamos à seguinte equação:
e^-x + x3 = 1

Passo 6

Essa equação não pode ser resolvida analiticamente de forma simples, então precisamos encontrar o valor de x que a satisfaz numericamente. Utilizando métodos numéricos ou uma calculadora, encontramos que:
x approx 2,8214

Resposta

Substituindo de volta, temos a Lei de Deslocamento de Wien em termos da frequência:
numax = 2,8214 , k Th
Isso significa que a frequência na qual a radiação de um corpo negro é máxima aumenta proporcionalmente à temperatura T.

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