Obtenha a lei do deslocamento de Wien em termos da frequência,
, resolvendo a equação
. Sugestão: Faça
e mostre que a equação citada leva a
1. Verifique então que
é a solução (pode usar o computador para encontrar este número).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com a Lei de Deslocamento de Wien, que descreve qual a frequência (ou comprimento de onda) em que a radiação emitida por um corpo negro é máxima, dependendo da sua temperatura. No nosso caso, queremos encontrar a frequência máxima, representada por
, em termos da temperatura
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre radiação de corpo negro e aplicar um pouco de cálculo para encontrar o ponto de máximo.
Passo 2
A Lei de Deslocamento de Wien pode ser obtida analisando a distribuição espectral da radiação de corpo negro, que é dada pela Lei de Planck. A função que descreve a densidade espectral de energia em função da frequência
é:
onde:
-
é a constante de Planck, -
é a velocidade da luz, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura absoluta.
Passo 3
Para encontrar a frequência
em que a densidade espectral de energia é máxima, precisamos encontrar o ponto em que a derivada de
em relação a
é igual a zero:
Isso nos dará o valor de
para o qual a radiação emitida é máxima.
Passo 4
Vamos simplificar a equação usando uma substituição. Seja:
Isso nos ajuda a tornar a equação mais simples para resolver. Agora, reescrevendo a densidade espectral em termos de
:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero para encontrar o valor de
que maximiza a densidade espectral:
Após simplificar a derivada, chegamos à seguinte equação:
Passo 6
Essa equação não pode ser resolvida analiticamente de forma simples, então precisamos encontrar o valor de
que a satisfaz numericamente. Utilizando métodos numéricos ou uma calculadora, encontramos que:
Resposta
Substituindo de volta, temos a Lei de Deslocamento de Wien em termos da frequência:
Isso significa que a frequência na qual a radiação de um corpo negro é máxima aumenta proporcionalmente à temperatura
.
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