Um elétron é representado pela função de onda independente do tempo psi(x)=A e^-a x para x>0 e psi(x)=A e^a x para x<0.
Normalize a função de onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a função de onda de um elétron, que é diferente para valores positivos e negativos de $ x $. O objetivo é normalizar essa função, ou seja, ajustar o valor de $ A $ de forma que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos precisar da matemática de integrais e entender como normalizar funções de onda na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. A condição de normalização diz que a integral do módulo ao quadrado da função de onda em todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 , dx = 1

Passo 3

Nossa função de onda é definida de forma diferente para $ x > 0 $ e $ x < 0 $:
x > 0
Vamos calcular o módulo ao quadrado dessa função em cada intervalo.

Passo 4

Para $ x > 0 $:
x > 0
Para $ x < 0 $:
|psi(x)|^2 = (A e^-a x)^2 = A^2 e^-2a x

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na condição de normalização:
integral-infty^0 A^2 e^2a x , dx + integral0^infty A^2 e^-2a x , dx = 1

Passo 6

Podemos fatorar $ A^2 $ nas integrais:
A^2

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral ($ x < 0 $):
x < 0
Segunda integral ($ x > 0 $):
integral-infty^0 e^2a x , dx = [ e^2a x2a ]-infty^0 = 12a

Passo 8

Substituindo os resultados das integrais de volta na equação:
A^2 ( 12a + 12a ) = 1 A^2 ( 22a ) = 1 A^2 ( 1a ) = 1

Passo 9

Resolvendo para $ A^2 $:
A^2

Resposta

Portanto, o valor de $ A $ que normaliza a função de onda é:
A

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