As embalagens de óleo de cozinha devem conter 900 ml de conteúdo líquido. Deseja-se fazer uma pesquisa com determinada marca para verificar se, em média, o conteúdo líquido não é menor do que o valor estipulado. Com nível de significância de 5%, qual é o tamanho de amostra necessário para identificar, com 90 % de probabilidade, peso médio inferior a 892 ml ? Considere que já foi realizada uma pesquisa preliminar com 8 unidades, obtendo desvio padrão igual a 10 ml .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos embalagens de óleo que deveriam conter 900 ml de líquido. Queremos verificar se, na verdade, a quantidade média não está abaixo desse valor. Para isso, precisamos descobrir qual o tamanho da amostra que devemos coletar para ter 90% de chance (probabilidade) de identificar que a média está abaixo de 892 ml, usando um nível de significância de 5%. Sabemos que, em uma pesquisa preliminar com 8 unidades, o desvio padrão foi de 10 ml. Vamos precisar usar conceitos de Teste de Hipótese e Cálculo de Tamanho de Amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste. A hipótese nula (H₀) é que a média é pelo menos 900 ml, ou seja, H₀: μ ≥ 900 ml. A hipótese alternativa (H₁) é que a média é menor que 900 ml, ou seja, H₁: μ < 900 ml. Mas o exercício pede para identificar se a média é inferior a 892 ml, então ajustaremos as hipóteses para H₀: μ ≥ 892 ml e H₁: μ < 892 ml.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o tamanho da amostra necessário para detectar essa diferença com 90% de probabilidade (poder do teste) e um nível de significância de 5%. O poder do teste (1 - β) é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a alternativa é verdadeira. Aqui, queremos um poder de 90%, ou seja, β = 10%.

Passo 4

Vamos usar a fórmula para o cálculo do tamanho da amostra em um teste unilateral:
n = ( (Zalpha + Zbeta) cdot sigmaDe
Onde:
  • $ Z_{\alpha} $ é o valor z correspondente ao nível de significância (5%),
  • $ Z_{\beta} $ é o valor z correspondente ao poder do teste (90%),
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (10 ml),
  • $ \Delta $ é a diferença que queremos detectar (900 ml - 892 ml = 8 ml).

Passo 5

Vamos encontrar os valores de $ Z_{\alpha} $ e $ Z_{\beta} $. Para um teste unilateral com nível de significância de 5%, $ Z_{\alpha} $ é aproximadamente -1,645 (considerando a cauda esquerda). Para um poder de 90%, $ Z_{\beta} $ é aproximadamente 1,282.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
n = ( (1,645 + 1,282) cdot 108 )^2

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
  1. Soma dos valores z: $ 1,645 + 1,282 = 2,927 $
  2. Multiplicando pelo desvio padrão: $ 2,927 \times 10 = 29,27 $
  3. Dividindo pela diferença: $ \frac{29,27}{8} = 3,65875 $
  4. Elevando ao quadrado: $ (3,65875)^2 \approx 13,38 $

Passo 8

Como o tamanho da amostra deve ser inteiro, arredondamos para o próximo número inteiro. Portanto, precisamos de uma amostra de 14 unidades.

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de 14 unidades.

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