Numa oficina de consertos de aparelhos eletrônicos, um técnico dedica-se a consertar placas de circuito impresso, substituindo elementos defeituosos (resistores, circuitos integrados etc) por novos. 0 tempo necessário ao conserto de cada placa compõe-se de três partes. Uma parte corresponde às etapas de preparação, reunião das peças necessárias, limpeza etc, e pode considerar-se constante para todas as placas. Outra parte corresponde à substituição propriamente dita dos elementos e pode ser considerada diretamente proporcional à quantidade de elementos a serem trocados. Por fim, há uma parcela não previsível devida às diferenças entre os circuitos das placas, facilidade de acesso aos elementos, perdas de tempo, erros de execução etc, que pode ser descrita por uma variável aleatória com distribuição normal cuja variância independe da quantidade de elementos a trocar na placa.
Os tempos reais gastos com os consertos de um conjunto de placas com quantidades predeterminadas de elementos a trocar estão a seguir.
Quantidade de elementos 2 3 4 5 6 8 10 12
Tempo de conserto (minutos) 10 13 12 15 20 23 26 31
b) Encontre as estimativas de mínimos quadrados para os coeficientes linear e angular do modelo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o tempo que um técnico leva para consertar placas de circuito impresso, e queremos encontrar os melhores valores para um modelo linear que relaciona o número de elementos a serem trocados com o tempo de conserto. O conteúdo que vamos usar aqui é o de Regressão Linear pelos Mínimos Quadrados, que ajuda a encontrar a linha que melhor se ajusta aos dados que temos. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas como a soma dos x, dos y, dos xy, e dos x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula dos Mínimos Quadrados para encontrar os coeficientes linear ( a) e angular ( b) da nossa reta. As fórmulas são:
b = n sum xy - sum x sum yn sum x^2 - (sum x)^2
a = y - b , x
Aqui, n é o número de pontos de dados, sum xy é a soma dos produtos x times y, sum x e sum y são as somas individuais de x e y, e sum x^2 é a soma dos quadrados de x. A média de x ( x) e de y ( y) também são necessárias para calcular a.

Passo 3

Vamos organizar os dados e calcular todas as somas necessárias:
Quantidade de elementos ( x) Tempo de conserto ( y) xy x^2
2 10 20 4
3 13 39 9
4 12 48 16
5 15 75 25
6 20 120 36
8 23 184 64
10 26 260 100
12 31 372 144
Total 10+13+12+15+20+23+26+31 = 150 20+39+48+75+120+184+260+372 = 1138 4+9+16+25+36+64+100+144 = 418
Número de pontos ( n) = 8

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente angular ( b) usando a fórmula:
b = n sum xy - sum x sum yn sum x^2 - (sum x)^2
Substituindo os valores:
b = 8 times 1138 - 60 times 1508 times 418 - 60^2
Primeiro, calculamos cada parte:
8 times 1138 = 9104
60 times 150 = 9000
8 times 418 = 3344
60^2 = 3600
Agora, substituímos:
b = 9104 - 90003344 - 3600 = 104-256 = -0,40625

Passo 5

Agora vamos calcular o coeficiente linear ( a) usando a fórmula:
a = y - b , x
Primeiro, encontramos as médias:
x = sum xn = 608 = 7,5
y = sum yn = 1508 = 18,75
Agora, substituímos na fórmula:
a = 18,75 - (-0,40625) times 7,5 = 18,75 + 3,046875 = 21,796875

Resposta

As estimativas de mínimos quadrados para o modelo são:
a approx 21,80 e b approx -0,41

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