Numa empresa de aluguel de aviões informam-nos que a procura diária de aviões de passageiros, X, e a procura diária de aviões de transporte rápido de correio, Y, constitui um par aleatório (X, Y) cuja função de probabilidade conjunta é dada por:
Y
fX Y(x, y) 0 1 2 Total
X 0 0 0,25
1 0,05 0,35
2 0,1 0,1 p+0,2
3 0 0,1 p
Total 0,2 0,5
(a) Complete a tabela, determinando o valor de p.
(b) Existe alguma relação entre a procura diária de aviões de passageiros e a procura diária de aviões de transporte? Justifique.
© Determine E(Y) e Var(Y).

Passo 1

Ok, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma empresa de aluguel de aviões que nos dá a tabela de probabilidade conjunta das demandas diárias de dois tipos de aviões: aviões de passageiros ( X) e aviões de transporte rápido de correio ( Y). Precisamos completar essa tabela e responder algumas perguntas sobre ela. Para resolver, vamos usar conceitos de probabilidade como funções de probabilidade conjunta, marginais, esperança e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos completar a tabela determinando o valor de p na parte da função de probabilidade conjunta. Sabemos que a soma de todas as probabilidades em uma tabela de probabilidade conjunta deve ser igual a 1.
Vamos somar as probabilidades que já temos:
  • 0,25 (quando X=0)
  • 0,35 (quando X=1)
  • p + 0,2 (quando X=2)
  • p (quando X=3)
Somando tudo:
0,25 + 0,35 + (p + 0,2) + p = 1
0,8 + 2p = 1
2p = 0,2
p = 0,1

Passo 3

Agora que sabemos que p = 0,1, vamos atualizar a tabela com esse valor:
fX Y(x, y) 0 1 2 Total
X 0 0 0,25
1 0,05 0,35
2 0,1 0,1 0,3
3 0 0,1 0,1
Total 0,2 0,5 1

Passo 4

Agora, vamos verificar se há alguma relação entre as demandas de aviões de passageiros ( X) e de transporte rápido de correio ( Y). Para isso, vamos verificar se as variáveis são independentes.
Duas variáveis são independentes se a probabilidade conjunta deles for igual ao produto das probabilidades marginais. Vamos calcular as marginais de X e Y.
Primeiro, as marginais:
  • P(X=0) = 0,25
  • P(X=1) = 0,35
  • P(X=2) = 0,3
  • P(X=3) = 0,1
Para Y:
  • P(Y=0) = 0,2
  • P(Y=1) = 0,5
  • P(Y=2) = 0,3
Vamos verificar, por exemplo, P(X=0, Y=0) = 0 e P(X=0)P(Y=0) = 0,25 times 0,2 = 0,05. Como 0 neq 0,05, as variáveis não são independentes.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a esperança E(Y) e a variância Var(Y) da demanda diária de aviões de transporte rápido de correio ( Y).
Primeiro, a esperança:
E(Y) = sum y cdot P(Y=y)
E(Y) = 0 times 0,2 + 1 times 0,5 + 2 times 0,3
E(Y) = 0 + 0,5 + 0,6
E(Y) = 1,1
Agora, a variância. Primeiro, calculamos E(Y^2):
E(Y^2) = sum y^2 cdot P(Y=y)
E(Y^2) = 0^2 times 0,2 + 1^2 times 0,5 + 2^2 times 0,3
E(Y^2) = 0 + 0,5 + 1,2
E(Y^2) = 1,7
Então, a variância é:
Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2
Var(Y) = 1,7 - (1,1)^2
Var(Y) = 1,7 - 1,21
Var(Y) = 0,49

Resposta

(a) p = 0,1
(b) As demandas de aviões de passageiros e de transporte não são independentes.
© E(Y) = 1,1 e Var(Y) = 0,49

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