Uma empresa de construção civil realizou uma pesquisa para avaliar a satisfação dos clientes em relação à qualidade das construções entregues. De uma amostra de 150 projetos concluídos, 90 clientes expressaram satisfação com a qualidade dos trabalhos realizados. A empresa afirma que a proporção de clientes satisfeitos deve ser de pelo menos
.
Teste a hipótese de que a proporção de clientes satisfeitos é de pelo menos
, usando um nível de significância de
.
Teste a hipótese de que a proporção de clientes satisfeitos é de pelo menos
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma empresa de construção que quer saber se pelo menos 65% dos clientes estão satisfeitos com a qualidade das construções. Eles pesquisaram 150 projetos e 90 clientes disseram estar satisfeitos. A gente vai usar teste de hipóteses para verificar se essa proporção realmente é de pelo menos 65%. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre estatística de proporção e como aplicar o teste Z.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (H₀) é a afirmação que queremos testar, enquanto a hipótese alternativa (H₁) é o que acreditamos que pode ser verdade.
- H₀: A proporção de clientes satisfeitos é pelo menos 65%, ou seja,
. - H₁: A proporção de clientes satisfeitos é menor do que 65%, ou seja,
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a proporção observada na nossa amostra. Isso é simplesmente o número de clientes satisfeitos dividido pelo total de clientes pesquisados.
Passo 4
Vamos utilizar o teste Z para proporção. A fórmula para calcular o valor de Z é:
Onde:
-
é a proporção observada (0,60) -
é a proporção hipóteses nula (0,65) -
é o tamanho da amostra (150)
Passo 5
Vamos calcular a parte de baixo da fórmula, que é o erro padrão:
Agora, substituindo na fórmula do Z:
Passo 6
Precisamos encontrar o valor crítico para o nível de significância de 5% (
). Como é um teste unilateral à esquerda, olhamos na tabela Z para encontrar o valor que corresponde a 5% na cauda esquerda, que é aproximadamente -1,645.
Passo 7
Comparamos o nosso valor de Z calculado com o valor crítico:
Como nosso Z calculado não é menor que o valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para afirmar que a proporção de clientes satisfeitos é menor do que 65% ao nível de significância de 5%. Portanto, a empresa pode manter sua afirmação de que pelo menos 65% dos clientes estão satisfeitos com a qualidade das construções.