Uma empresa de construção civil realizou uma pesquisa para avaliar a satisfação dos clientes em relação à qualidade das construções entregues. De uma amostra de 150 projetos concluídos, 90 clientes expressaram satisfação com a qualidade dos trabalhos realizados. A empresa afirma que a proporção de clientes satisfeitos deve ser de pelo menos 65 %.
Teste a hipótese de que a proporção de clientes satisfeitos é de pelo menos 65 %, usando um nível de significância de 5 %.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma empresa de construção que quer saber se pelo menos 65% dos clientes estão satisfeitos com a qualidade das construções. Eles pesquisaram 150 projetos e 90 clientes disseram estar satisfeitos. A gente vai usar teste de hipóteses para verificar se essa proporção realmente é de pelo menos 65%. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre estatística de proporção e como aplicar o teste Z.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (H₀) é a afirmação que queremos testar, enquanto a hipótese alternativa (H₁) é o que acreditamos que pode ser verdade.
  • H₀: A proporção de clientes satisfeitos é pelo menos 65%, ou seja, .
  • H₁: A proporção de clientes satisfeitos é menor do que 65%, ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a proporção observada na nossa amostra. Isso é simplesmente o número de clientes satisfeitos dividido pelo total de clientes pesquisados.
p = 90150 = 0,60

Passo 4

Vamos utilizar o teste Z para proporção. A fórmula para calcular o valor de Z é:
Z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • é a proporção observada (0,60)
  • é a proporção hipóteses nula (0,65)
  • é o tamanho da amostra (150)

Passo 5

Vamos calcular a parte de baixo da fórmula, que é o erro padrão:
raiz0,65 times (1 - 0,65)150 = raiz0,65 times 0,35150 = raiz0,2275150 approx raiz0,001517 approx 0,03895
Agora, substituindo na fórmula do Z:
Z = 0,60 - 0,650,03895 approx -0,050,03895 approx -1,283

Passo 6

Precisamos encontrar o valor crítico para o nível de significância de 5% ( ). Como é um teste unilateral à esquerda, olhamos na tabela Z para encontrar o valor que corresponde a 5% na cauda esquerda, que é aproximadamente -1,645.

Passo 7

Comparamos o nosso valor de Z calculado com o valor crítico:
-1,283 > -1,645
Como nosso Z calculado não é menor que o valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para afirmar que a proporção de clientes satisfeitos é menor do que 65% ao nível de significância de 5%. Portanto, a empresa pode manter sua afirmação de que pelo menos 65% dos clientes estão satisfeitos com a qualidade das construções.

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